Парадокс "спящей красавицы" и различные состояния сознания
Обычно парадокс «спящей красавицы» формулируется следующим образом:
Испытуемой («Спящей красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монета. В случае выпадения орла: её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки: её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.
Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монета упала решкой?
Недавно этот парадокс в числе других был обсуждён ещё раз в одном из блогов, посвящённых проблемам философской логики, в котором также была затронута история этого вопроса. Наиболее очевидными с точки зрения интуиции являются два решения, сторонники которых периодически затевают споры:
Решение 1. (решение «двоечников»)
У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монета честная, можно предположить, что вероятность решки ½.
Решение 2. (решение «троечников»)
Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность решки 2⁄3.
[Spoiler (click to open)]
- Следует сразу отметить, что в данном случае спор идёт впустую, поскольку «двоечники» и «троечники» отвечают на разный вопрос: первые на вопрос-1 о том, какова вероятность выпадения орла в ряду бросаний монеты, а вторые на вопрос-2 - какова вероятность побудок, связанных с выпадением орла в ряду всех побудок. Это, согласитесь, совершенно разные вопросы. Поскольку в дальнейшем по нашим собственным причинам нас будет интересовать только второй вопрос из двух, то решение-1 мы отставим в сторону.
Отметим сразу, что решение-2 допускает не только частотную, но и так называемую байесиановскую интерпретацию, которая отличается тем, что в ней рассматриваются в качестве вероятностей не относительные математическое ожидания частоты выпадений, а степень достоверности того или иного варианта в глазах рационального наблюдателя, имеющего доступ к одной информации и не имеющего - к другой.
Таким образом, поскольку монета по условию полностью симметричная, нет никаких рациональных оснований приписывать выпадению орла большую вероятность, чем выпадению решки, если мы говорим о череде бросаний. Однако, мы хотим выяснить не вероятность выпадения орла саму по себе, а вероятность определенного вида побудок, и именно тех, которые связаны с выпадением орла. А по условию задачи с выпадением решки связаны две побудки, а с выпадением орла - только одна. Всего получается три побудки, которые полностью неразличимы в глазах спящей красавицы из-за того, что подопытную усыпляют каким-то сильным наркотиком, и она из-за этого теряет память. Как видим, нет никакого основания считать один из вариантов побудок более заслуживающим доверия из-за известных «перекосов» монеты или другой аналогичной информации. Следовательно, в итоге есть полностью симметричные три варианта побудок. Итак, при рациональной оценке ситуации с точки зрения информации, которая имеется у подопытной, вероятность каждого варианта следует приравнять 1/3. Таким образом, байесианское решение (решение-2) в данном случае не отличается от частотного (референционистского), что, однако, не гарантирует совпадение результатов применения этих двух подходов в других ситуациях.
Однако, классический вариант решения содержит существенный недостаток, а именно следующий: в нём не учитывается, что одни и те же наркотические вещества в разных дозировках могут вызывать различные степени беспамятства. В классической версии парадокса беспамятство красавицы весьма относительное: она должна чётко помнить условия задачи, но при этом не должна помнить, что просыпалась накануне. Но в условии задачи не сказано, должна ли она быть уверенной в том, что не помнит своих побудок. Если этот параметр варьировать от полной уверенности в своей памяти до полной неуверенности даже в том, сохранена память или нет, приходим к двум новым интересным вариантам «парадокса спящей красавицы»:
Версия-2 (недодозировка): красавице колют недостаточную дозу наркотика, либо она в течении повторяющихся однородных экспериментов к нему уже начала привыкать (возникла толерантность к наркотическому средству). В этом случае красавица может чётко различить, разбудили её один раз, или второй. В этом варианте байесианова вероятность того, что она проснулась второй раз и выпала решка, разумеется равна 1, то есть - является достоверностью. В то же время, если она проснулась первый раз, то вследствие полученного знания (о числе побудок) для неё сохраняют возможность два симметричных варианта побудок: один связанный с выпадением решки и другой, связанный с выпадением орла. Таким образом, байесианскую вероятность следует вычислять, как 1\2 (совпадает с «ответом двоечников» из оригинальной версии задачи). Как видим, в версии-2 при оценке вероятности невозможно отвлечься от номера побудки. Сама же побудка играет роль своеобразного триггера, «инструмента наблюдения», после включения которого функция распределения вероятностей как бы «коллапсирует», перестраиваясь в соответствие с полученной информацией о номере побудки (1 или 2).
Версия-3 (передоз): красавице колют двойную дозу наркотика, так что она не способна даже сообразить, помнит она происходящее накануне, или нет. То есть, она не в состоянии различить не только первую побудку от второй, но и то, в какой версии парадокса она сейчас находится: в версии-1 (оригинальной) или в версии-2. Такое легко себе представить, если учесть, что экспериментаторы - люди довольно жесткие, и совсем не обязательно они будут подсказывать подопытной, в каком состоянии находится её память, если случится передоз. В этом случае действительно ей есть, о чём подумать, проснувшись…
Самым простым вариантом решения версии-3 является, как может показаться, сведение её к оригинальной версии-1 на основании того, что если красавица уже даже не соображает, помнит она или нет, она наверняка ничего не помнит, то есть - фактически речь идёт о версии-1. Но этот путь рассуждения имеет свои недостатки: например, если красавица просыпается в первый день, то она в любом случае не помнит, что её уже будили, будь это правда или нет. А, не помня об этом, она не может точно утверждать, сохранена ли её память в принципе, или нет. Она никак не способна верифицировать этот факт, если проснулась в первый день - даже если её память всё ещё способна зафиксировать побудку, сделанную днём накануне. Итак, нам остаётся сделать вывод, что даже при сохранённой памяти, а тем более - при её отсутствии, подопытная, если она проснулась в первый день, не способна понять в какой версии парадокса она находится. А это равнозначно тому, что для неё симметричными (неразличимыми) могут быть не только варианты из версии-1, но, одновременно, и варианты из версии-2. Таким образом, решая задачу оценки вероятности подопытная должна каким-то образом провести «суперпозицию» (наложение) функции распределения вероятности версий 1 и 2.
Попробуем мы это сделать за неё: если она проснулась во второй день и точно это помнит, то ответ понятен. В этом случае подопытная может точно сказать, что её память и соображение сохранены (предположим для однозначности условий, что наркотик не даёт галлюцинаций, и она об этом знает, но не знает его дозу). Если так, то её пробуждение связано с выпадением решки.
Если же красавица проснулась, и считает, что она проснулась в первый день, либо вообще не может толком сообразить, тогда возможны следующие симметричные (неразличимые для подопытной) варианты:
1) Она проснулась в первый день версии-1 после выпадения орла
2) Она проснулась в первый день версии-1 после выпадения решки
3) Она проснулась во второй день версии-1 после выпадения решки
4) Она проснулась в первый день версии-2 после выпадения орла
5) Она проснулась в первый день версии-2 после выпадения решки
Но один вариант для неё выпадает, так как во второй версии он для красавицы вполне различим:
6) Она проснулась во второй день версии-2 после выпадения решки (выпадающий вариант)
После составления полного списка симметричных вариантов уже нетрудно вычислить байесианову вероятность тех их них, которые связаны с выпадением орла. Таких вариантов два из пяти. Таким образом, правильный ответ красавицы 2\5. Именно он должен считаться правильным ответом для «парадокса спящей красавицы» и в том случае, когда подопытной не объяснили, что она не должна ничего помнить, так что она вынуждена принимать во внимание возможность двух различных состояний своей памяти. В последнем случае она при строго рациональном (с точки зрения Байеса) расчёте должна также иметь в виду выпадение варианта 6).
Следующую задачу, близкую по духу к "парадоксу спящей красавицы", можно было бы назвать "Галлюцинация" (с):
Алиса и Боб работают в одном здании, и нередко видят друг друга на работе. Но вот беда: Алиса страдает галлюцинациями. В состоянии изменённого сознания она видит Боба, причём настолько ярко и реалистично, что не может отличить живого Боба от своего галлюцинаторного переживания. Через день (для простоты будем считать, что по чётным числам месяца) Алисе вводят инъекции нейролептика, который действует ровно одни сутки (24 часа), предотвращая появление галлюцинаций. В это время она видит только реального Боба. Но по нечётным, когда нейролептик не вводится, - на работе она видит, как реального Боба, так и своё галлюцинаторное переживание, субъективно неотличимое от Боба. Проблема ещё и в том, что, в это время, когда она смотрит на календарь, то продолжает галлюцинировать, так как ей всегда кажется, что «сегодня» - чётное число. Таким образом, в состоянии делирия (когда видит галлюцинации) она не может правильно сориентироваться и по календарю, и не способна отличить своё собственное состояние изменённого сознания от нормального. В задаче спрашивается: как правильно посчитать вероятность того, что Алиса, когда видит Боба, видит реального Боба, а не галлюцинацию?
Будем решать эту задачу по аналогии с предыдущей. Имеется два разных, но субъективно неразличимых состояния сознания испытуемой: состояние-1 (нормальное) и состояние-2 (галлюцинаторное). В первом состоянии, если Алиса видит Боба - это точно реальный Боб. Во втором - реальный и галлюцинаторный Боб субъективно неразличимы, а следовательно - симметричны, как две стороны одной монеты. С точки зрения байесовой трактовки теории вероятности, так как реальный и галлюцинаторный образы Боба полностью неразличимы, и нет никакой дополнительной информации относительно большей или меньшей частотности одного из них, им можно приписать только равные вероятности. Таким образом, если рассматривать только состояние-2, то вероятность увидеть реального Боба в ряду появлений Боба будет равняться 1\2.
Поскольку Состояния 1 и 2 для Алисы неразличимы, они - полностью симметричны с точки зрения байесовой теории, и нет никакого основания приписывать им разные вероятности. Таким образом, вероятность состояния-1 = вероятность состояния-2 = 1\2. Но состояние-2 делится на два симметричных варианта: 1 - Алиса видит реального Боба, и 2 - Алиса видит галлюцинацию. Вероятности их, следовательно, равны между собой, а в сумме равны 1\2. Таким образом, распределение вероятностей у нас следующее:
1) Алиса видит реального Боба, находясь в состоянии-1. Вероятность 1\2.
2) Алиса видит реального Боба, находясь в состоянии-2. Вероятность 1\4.
3) Алиса видит галлюцинаторного Боба, находясь в состоянии-2. Вероятность 1\4.
- Итого получается, что вероятность увидеть реального Боба для Алисы составляет 3\4, а вовсе не 1\2, как можно было бы подумать, исходя из анализа одного лишь состояния-2. Это - расчёт вероятностей в духе байесианизма, поскольку такое распределение вероятностей - единственное, при котором учитывается одновременно, как полная симметрия (субъективная неразличимость) состояний сознания, так и полная симметрия (неразличимость) реального и галлюцинаторного появления Боба в состоянии-2.
Другой вариант расчёта вероятностей исходит из частотных оценок и является по методологии смешанным, референционистским и байесианским. Он основан на том, что частота встречи с реальным Бобом не зависит от дня наблюдений, и должна в среднем быть одинаковой по чётным и нечётным числам месяца. Отсюда и вероятности появления реального Боба, при таком способе оценки, по чётным и нечётным дням должны быть равны между собой.
Теперь осталось оценить сравнительные вероятности появления реального и галлюцинаторного Боба в состоянии сознания-2. Не имея представления о сравнительных частотах появления реального и галлюцинаторного Боба, Алиса вынуждена опираться лишь на (байесиановскую) оценку своих возможностей их различить. Эта возможность нулевая, поэтому, учитывая эту данность, нет другого более рационального способа оценки сравнительных вероятностей появления реального и галлюцинаторного Боба, кроме, как считать их равными.
Итак, учитывая равную частотность появления реального Боба в состоянии 1 и 2, а также равную уверенность (для Алисы) реального и галлюцинаторного появления Боба в состоянии 2, приходится считать состояния 1), 2) и 3) полностью симметричными. Тогда:
1) Алиса видит реального Боба, находясь в состоянии-1. Вероятность 1\3.
2) Алиса видит реального Боба, находясь в состоянии-2. Вероятность 1\3.
3) Алиса видит галлюцинаторного Боба, находясь в состоянии-2. Вероятность 1\3.
И тогда окончательная вероятность встретить реального Боба для Алисы в этой задаче равна 2\3.
Интересно, что чисто байесианский и смешанный подход к оценке вероятностей, связанных с разными ментальными состояниями дал нам не совпадающие результаты распределений. Но это и не удивительно, так как именно различие в ментальных состояниях может по-разному оцениваться в частотной и байесианской парадигмах такой оценки. К примеру: если субъект, проводящий расчёт вероятности, забыл какое-либо обстоятельство, влияющее на оценку вероятности, то частотная (референциалистская) теория вероятности говорит в этом случае, что распределение вероятностей не изменилось. В то же время байесианская теория вероятности, исходящая из рациональной оценки «известного» субъекту, то есть, говоря другим языком, - из «центрированной» оценки, требует, чтобы в подобных случаях распределение вероятностей изменялось с учётом потери информации (забытой субъектом такой оценки).
В конечном итоге можно сделать вывод, что байесианова и референциальная теории вероятности являются не просто двумя равноценными толкованиями (интерпретациями) вероятностной теории, а представляют собой две содержательно различные теории. Во всяком случае, различия между ними существенны, если речь идёт о различных состояниях сознания.
Update 21-10.13: После обсуждения вопроса в журнале vic_gorbatov тут и в этой полосе тут, выяснилось, что наиболее правильным (то есть отвечающим в наибольшей степени условиям задачи) ответом является "распределение троечников" с вероятностью каждого варианта 1\3, 1\3, 1\3. "Распределение двоечников" является, как и в случае "парадокса спящей красавицы", всего лишь результатом не вполне уяснённого условия задачи.
Испытуемой («Спящей красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монета. В случае выпадения орла: её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки: её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.
Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монета упала решкой?
Недавно этот парадокс в числе других был обсуждён ещё раз в одном из блогов, посвящённых проблемам философской логики, в котором также была затронута история этого вопроса. Наиболее очевидными с точки зрения интуиции являются два решения, сторонники которых периодически затевают споры:
Решение 1. (решение «двоечников»)
У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монета честная, можно предположить, что вероятность решки ½.
Решение 2. (решение «троечников»)
Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность решки 2⁄3.
[Spoiler (click to open)]
- Следует сразу отметить, что в данном случае спор идёт впустую, поскольку «двоечники» и «троечники» отвечают на разный вопрос: первые на вопрос-1 о том, какова вероятность выпадения орла в ряду бросаний монеты, а вторые на вопрос-2 - какова вероятность побудок, связанных с выпадением орла в ряду всех побудок. Это, согласитесь, совершенно разные вопросы. Поскольку в дальнейшем по нашим собственным причинам нас будет интересовать только второй вопрос из двух, то решение-1 мы отставим в сторону.
Отметим сразу, что решение-2 допускает не только частотную, но и так называемую байесиановскую интерпретацию, которая отличается тем, что в ней рассматриваются в качестве вероятностей не относительные математическое ожидания частоты выпадений, а степень достоверности того или иного варианта в глазах рационального наблюдателя, имеющего доступ к одной информации и не имеющего - к другой.
Таким образом, поскольку монета по условию полностью симметричная, нет никаких рациональных оснований приписывать выпадению орла большую вероятность, чем выпадению решки, если мы говорим о череде бросаний. Однако, мы хотим выяснить не вероятность выпадения орла саму по себе, а вероятность определенного вида побудок, и именно тех, которые связаны с выпадением орла. А по условию задачи с выпадением решки связаны две побудки, а с выпадением орла - только одна. Всего получается три побудки, которые полностью неразличимы в глазах спящей красавицы из-за того, что подопытную усыпляют каким-то сильным наркотиком, и она из-за этого теряет память. Как видим, нет никакого основания считать один из вариантов побудок более заслуживающим доверия из-за известных «перекосов» монеты или другой аналогичной информации. Следовательно, в итоге есть полностью симметричные три варианта побудок. Итак, при рациональной оценке ситуации с точки зрения информации, которая имеется у подопытной, вероятность каждого варианта следует приравнять 1/3. Таким образом, байесианское решение (решение-2) в данном случае не отличается от частотного (референционистского), что, однако, не гарантирует совпадение результатов применения этих двух подходов в других ситуациях.
Однако, классический вариант решения содержит существенный недостаток, а именно следующий: в нём не учитывается, что одни и те же наркотические вещества в разных дозировках могут вызывать различные степени беспамятства. В классической версии парадокса беспамятство красавицы весьма относительное: она должна чётко помнить условия задачи, но при этом не должна помнить, что просыпалась накануне. Но в условии задачи не сказано, должна ли она быть уверенной в том, что не помнит своих побудок. Если этот параметр варьировать от полной уверенности в своей памяти до полной неуверенности даже в том, сохранена память или нет, приходим к двум новым интересным вариантам «парадокса спящей красавицы»:
Версия-2 (недодозировка): красавице колют недостаточную дозу наркотика, либо она в течении повторяющихся однородных экспериментов к нему уже начала привыкать (возникла толерантность к наркотическому средству). В этом случае красавица может чётко различить, разбудили её один раз, или второй. В этом варианте байесианова вероятность того, что она проснулась второй раз и выпала решка, разумеется равна 1, то есть - является достоверностью. В то же время, если она проснулась первый раз, то вследствие полученного знания (о числе побудок) для неё сохраняют возможность два симметричных варианта побудок: один связанный с выпадением решки и другой, связанный с выпадением орла. Таким образом, байесианскую вероятность следует вычислять, как 1\2 (совпадает с «ответом двоечников» из оригинальной версии задачи). Как видим, в версии-2 при оценке вероятности невозможно отвлечься от номера побудки. Сама же побудка играет роль своеобразного триггера, «инструмента наблюдения», после включения которого функция распределения вероятностей как бы «коллапсирует», перестраиваясь в соответствие с полученной информацией о номере побудки (1 или 2).
Версия-3 (передоз): красавице колют двойную дозу наркотика, так что она не способна даже сообразить, помнит она происходящее накануне, или нет. То есть, она не в состоянии различить не только первую побудку от второй, но и то, в какой версии парадокса она сейчас находится: в версии-1 (оригинальной) или в версии-2. Такое легко себе представить, если учесть, что экспериментаторы - люди довольно жесткие, и совсем не обязательно они будут подсказывать подопытной, в каком состоянии находится её память, если случится передоз. В этом случае действительно ей есть, о чём подумать, проснувшись…
Самым простым вариантом решения версии-3 является, как может показаться, сведение её к оригинальной версии-1 на основании того, что если красавица уже даже не соображает, помнит она или нет, она наверняка ничего не помнит, то есть - фактически речь идёт о версии-1. Но этот путь рассуждения имеет свои недостатки: например, если красавица просыпается в первый день, то она в любом случае не помнит, что её уже будили, будь это правда или нет. А, не помня об этом, она не может точно утверждать, сохранена ли её память в принципе, или нет. Она никак не способна верифицировать этот факт, если проснулась в первый день - даже если её память всё ещё способна зафиксировать побудку, сделанную днём накануне. Итак, нам остаётся сделать вывод, что даже при сохранённой памяти, а тем более - при её отсутствии, подопытная, если она проснулась в первый день, не способна понять в какой версии парадокса она находится. А это равнозначно тому, что для неё симметричными (неразличимыми) могут быть не только варианты из версии-1, но, одновременно, и варианты из версии-2. Таким образом, решая задачу оценки вероятности подопытная должна каким-то образом провести «суперпозицию» (наложение) функции распределения вероятности версий 1 и 2.
Попробуем мы это сделать за неё: если она проснулась во второй день и точно это помнит, то ответ понятен. В этом случае подопытная может точно сказать, что её память и соображение сохранены (предположим для однозначности условий, что наркотик не даёт галлюцинаций, и она об этом знает, но не знает его дозу). Если так, то её пробуждение связано с выпадением решки.
Если же красавица проснулась, и считает, что она проснулась в первый день, либо вообще не может толком сообразить, тогда возможны следующие симметричные (неразличимые для подопытной) варианты:
1) Она проснулась в первый день версии-1 после выпадения орла
2) Она проснулась в первый день версии-1 после выпадения решки
3) Она проснулась во второй день версии-1 после выпадения решки
4) Она проснулась в первый день версии-2 после выпадения орла
5) Она проснулась в первый день версии-2 после выпадения решки
Но один вариант для неё выпадает, так как во второй версии он для красавицы вполне различим:
6) Она проснулась во второй день версии-2 после выпадения решки (выпадающий вариант)
После составления полного списка симметричных вариантов уже нетрудно вычислить байесианову вероятность тех их них, которые связаны с выпадением орла. Таких вариантов два из пяти. Таким образом, правильный ответ красавицы 2\5. Именно он должен считаться правильным ответом для «парадокса спящей красавицы» и в том случае, когда подопытной не объяснили, что она не должна ничего помнить, так что она вынуждена принимать во внимание возможность двух различных состояний своей памяти. В последнем случае она при строго рациональном (с точки зрения Байеса) расчёте должна также иметь в виду выпадение варианта 6).
Следующую задачу, близкую по духу к "парадоксу спящей красавицы", можно было бы назвать "Галлюцинация" (с):
Алиса и Боб работают в одном здании, и нередко видят друг друга на работе. Но вот беда: Алиса страдает галлюцинациями. В состоянии изменённого сознания она видит Боба, причём настолько ярко и реалистично, что не может отличить живого Боба от своего галлюцинаторного переживания. Через день (для простоты будем считать, что по чётным числам месяца) Алисе вводят инъекции нейролептика, который действует ровно одни сутки (24 часа), предотвращая появление галлюцинаций. В это время она видит только реального Боба. Но по нечётным, когда нейролептик не вводится, - на работе она видит, как реального Боба, так и своё галлюцинаторное переживание, субъективно неотличимое от Боба. Проблема ещё и в том, что, в это время, когда она смотрит на календарь, то продолжает галлюцинировать, так как ей всегда кажется, что «сегодня» - чётное число. Таким образом, в состоянии делирия (когда видит галлюцинации) она не может правильно сориентироваться и по календарю, и не способна отличить своё собственное состояние изменённого сознания от нормального. В задаче спрашивается: как правильно посчитать вероятность того, что Алиса, когда видит Боба, видит реального Боба, а не галлюцинацию?
Будем решать эту задачу по аналогии с предыдущей. Имеется два разных, но субъективно неразличимых состояния сознания испытуемой: состояние-1 (нормальное) и состояние-2 (галлюцинаторное). В первом состоянии, если Алиса видит Боба - это точно реальный Боб. Во втором - реальный и галлюцинаторный Боб субъективно неразличимы, а следовательно - симметричны, как две стороны одной монеты. С точки зрения байесовой трактовки теории вероятности, так как реальный и галлюцинаторный образы Боба полностью неразличимы, и нет никакой дополнительной информации относительно большей или меньшей частотности одного из них, им можно приписать только равные вероятности. Таким образом, если рассматривать только состояние-2, то вероятность увидеть реального Боба в ряду появлений Боба будет равняться 1\2.
Поскольку Состояния 1 и 2 для Алисы неразличимы, они - полностью симметричны с точки зрения байесовой теории, и нет никакого основания приписывать им разные вероятности. Таким образом, вероятность состояния-1 = вероятность состояния-2 = 1\2. Но состояние-2 делится на два симметричных варианта: 1 - Алиса видит реального Боба, и 2 - Алиса видит галлюцинацию. Вероятности их, следовательно, равны между собой, а в сумме равны 1\2. Таким образом, распределение вероятностей у нас следующее:
1) Алиса видит реального Боба, находясь в состоянии-1. Вероятность 1\2.
2) Алиса видит реального Боба, находясь в состоянии-2. Вероятность 1\4.
3) Алиса видит галлюцинаторного Боба, находясь в состоянии-2. Вероятность 1\4.
- Итого получается, что вероятность увидеть реального Боба для Алисы составляет 3\4, а вовсе не 1\2, как можно было бы подумать, исходя из анализа одного лишь состояния-2. Это - расчёт вероятностей в духе байесианизма, поскольку такое распределение вероятностей - единственное, при котором учитывается одновременно, как полная симметрия (субъективная неразличимость) состояний сознания, так и полная симметрия (неразличимость) реального и галлюцинаторного появления Боба в состоянии-2.
Другой вариант расчёта вероятностей исходит из частотных оценок и является по методологии смешанным, референционистским и байесианским. Он основан на том, что частота встречи с реальным Бобом не зависит от дня наблюдений, и должна в среднем быть одинаковой по чётным и нечётным числам месяца. Отсюда и вероятности появления реального Боба, при таком способе оценки, по чётным и нечётным дням должны быть равны между собой.
Теперь осталось оценить сравнительные вероятности появления реального и галлюцинаторного Боба в состоянии сознания-2. Не имея представления о сравнительных частотах появления реального и галлюцинаторного Боба, Алиса вынуждена опираться лишь на (байесиановскую) оценку своих возможностей их различить. Эта возможность нулевая, поэтому, учитывая эту данность, нет другого более рационального способа оценки сравнительных вероятностей появления реального и галлюцинаторного Боба, кроме, как считать их равными.
Итак, учитывая равную частотность появления реального Боба в состоянии 1 и 2, а также равную уверенность (для Алисы) реального и галлюцинаторного появления Боба в состоянии 2, приходится считать состояния 1), 2) и 3) полностью симметричными. Тогда:
1) Алиса видит реального Боба, находясь в состоянии-1. Вероятность 1\3.
2) Алиса видит реального Боба, находясь в состоянии-2. Вероятность 1\3.
3) Алиса видит галлюцинаторного Боба, находясь в состоянии-2. Вероятность 1\3.
И тогда окончательная вероятность встретить реального Боба для Алисы в этой задаче равна 2\3.
Интересно, что чисто байесианский и смешанный подход к оценке вероятностей, связанных с разными ментальными состояниями дал нам не совпадающие результаты распределений. Но это и не удивительно, так как именно различие в ментальных состояниях может по-разному оцениваться в частотной и байесианской парадигмах такой оценки. К примеру: если субъект, проводящий расчёт вероятности, забыл какое-либо обстоятельство, влияющее на оценку вероятности, то частотная (референциалистская) теория вероятности говорит в этом случае, что распределение вероятностей не изменилось. В то же время байесианская теория вероятности, исходящая из рациональной оценки «известного» субъекту, то есть, говоря другим языком, - из «центрированной» оценки, требует, чтобы в подобных случаях распределение вероятностей изменялось с учётом потери информации (забытой субъектом такой оценки).
В конечном итоге можно сделать вывод, что байесианова и референциальная теории вероятности являются не просто двумя равноценными толкованиями (интерпретациями) вероятностной теории, а представляют собой две содержательно различные теории. Во всяком случае, различия между ними существенны, если речь идёт о различных состояниях сознания.
Update 21-10.13: После обсуждения вопроса в журнале vic_gorbatov тут и в этой полосе тут, выяснилось, что наиболее правильным (то есть отвечающим в наибольшей степени условиям задачи) ответом является "распределение троечников" с вероятностью каждого варианта 1\3, 1\3, 1\3. "Распределение двоечников" является, как и в случае "парадокса спящей красавицы", всего лишь результатом не вполне уяснённого условия задачи.