Вероятностное обоснование прямой демократии. Часть I
Если что, тут где-то так 1/7 статьи, в которой рассмотрено до фига вопросов, поэтому не надо сюда писать про «а почему вон про то тут нету?!!».
Что такое «прямая демократия»
Под «прямой демократией» иногда понимают прямое голосование за исполнительную или какую-либо ещё власть - в противовес системе, где означенную власть выбирает коллегия выборщиков, которых, в свою очередь, уже выбирают граждане (такая система, в частности, работает в США при выборах президента).
Однако более частое и, на мой взгляд, на данный момент уже более правильное понимание этого термина: система, при которой все или большинство решений принимаются напрямую общим голосованием. Подобная система для ряда вопросов используется, например, в Швейцарии в форме референдумов, а также в некоторых общественных организациях.
О «трудоёмкости» прямой демократии
Есть совершенно правильный вопрос: «каким образом каждый человек сумеет найти время, чтобы разбираться и голосовать по каждому поводу?».
Ответ на него: конечно же, никаким.
Для решения этой проблемы к прямой демократии должен прилагаться механизм делегирования голоса, краткий смысл которого в том, что каждый человек может назначить себе любое количество «делегатов» и в тех случаях, когда этот человек не проголосовал лично, его голос будет равномерно распределяться между его проголосовавшими делегатами.
Подбор делегатов при этом можно значительно упростить при помощи вычисления процента совпадений между этим человеком и каждым потенциальным кандидатом в делегаты в ответах на те вопросы, по которым они оба лично проголосовали.
Кандидатом при этом является каждый член той же группы, к которой относится данный вопрос (все жители дома, города, страны, общественной организации и т.п.).
Подробное описание этого механизма, равно как и его исследование - тема для отдельной статьи, здесь же будут рассматриваться иные вопросы, однако из этого никак не следует, что про этот механизм ничего не известно или что информацию о нём кто-то скрывает. О нет, это не скрывается и будет изложено в дальнейшем.
Ошибочность интуитивных представлений
До развития интернета прямую демократию было не так-то просто устроить, поскольку, как это, например, делалось в древнегреческих городах-государствах, всех участников приходилось собирать одновременно в одном месте, а подсчёт голосов вести не точно, а приблизительно. Однако сейчас организация голосования по интернету столь проста, что вряд ли имеет смысл вести речь о технических сложностях.
Сложности в основном психологические.
Даже от сторонников прямой демократии можно услышать фразы вроде «да, конечно, прямая демократия работает более медленно и чаще ошибается за счёт непрофессионализма голосующих, чем система с лидером во главе, зато при ней у принимающих решения вряд ли будет злонамеренность против самих же себя, она более справедлива и лучше отражает точку зрения большинства, а также при ней сильно затруднена узурпация власти».
«Она работает медленнее» кажется интуитивно понятным, однако теория вероятности очень часто бывает контринтуитивна, и в результате интуитивно понятное может очень сильно не соответствовать реальности.
Данный вопрос - пример именно такого случая.
Не умаляя всего того, что в «интуитивном суждении» идёт после «зато», я намереваюсь показать, что вместо «зато» следовало бы писать «вдобавок», поскольку первая часть утверждения - перечисляющая недостатки прямой демократии - на самом деле базируется на чисто умозрительных суждениях, которые отличаются от того, что есть на самом деле, с точностью до наоборот. И оное будет показано уже не умозрительно, а на фундаменте теории вероятности и экспериментальной проверки на статистических моделях.
Терминология и «правила игры»
Вариантов устройства прямой демократии довольно много, и, хотя они обладают многими схожими чертами (главная из которых - принятие решений по каждому вопросу всеми гражданами, а не узкой группой лиц), другие аспекты у них разнятся, что оказывается критичным и для анализа, и для выводов по его результатам. Поэтому далее будет рассматриваться вариант прямой демократии, соответствующий следующим принципам.
Кроме того,…
Эти два положения не оказывают существенного влияния на выводы, однако существенно упрощают понимание закономерностей, присущих прямой демократии.
И ещё о терминах.
«Участники» - это все те, кто своими голосами принимают решения. Синонимом для них является слово «голосующие». А в совокупности они будут называться «коллективом».
В противовес этой системе будет рассматриваться система, где решение принимает один человек. При этом не важно, кто это - монарх ли, избранный президент, неформальный лидер и т.п. Его я буду называть «диктатором», а саму систему «диктатурой».
Да, кажется, что такого человека следовало бы назвать «лидером», однако слово «лидер» имеет слишком много вариантов восприятия. Им, например, может быть человек, который пользуется уважением, или, скажем, вдохновляет людей на какие-то деяния. Однако в контексте рассматриваемой проблемы важна лишь одна «лидерская» черта: право монопольно принимать решения, то есть «диктовать» решения всем остальным. Термин «диктатор», на мой взгляд, сильнее ассоциируется с этим правом, чем «лидер», поэтому используется именно он. И это не следует понимать, как попытку очернить абстрактного «лидера» при помощи термина, имеющего отрицательные коннотации.
Кроме того, в статье подразумевается, что рассматриваемые голосующими или диктатором вопросы имеют объективно лучший вариант решения.
Дело в том, что ряд вопросов, которые могут встать перед коллективом или диктатором, «правильного» ответа не имеет. Так, например, то, в какой цвет следует покрасить стены в подъезде, зависит исключительно от пристрастий большинства жильцов этого подъезда. И зелёный цвет тут будет не более «объективно правильным», чем синий - всё зависит от того, какой из них жильцам в среднем больше нравится. Даже соображения вида «такой-то цвет успокаивает» в этом случае не спасут: ведь то, что он «успокаивает», было проверено на некоторой выборке людей, однако в подъезде проживают другие люди, и конкретно их этот цвет может, наоборот, раздражать, или, как вариант, большинство из них как раз не хотело бы, чтобы их успокаивал цвет стен подъезда.
С другой стороны, выбор между, например, проектами космического корабля для колонизации Марса уже можно сделать правильно или неправильно: выбрав объективно более хороший (в смысле достижения поставленной цели) или плохой проект. Этим выбор проекта принципиально отличается от «декларации намерений» - решения, что большинству, скажем, граждан страны хотелось бы колонизации Марса в ближайшее время, а потому они ставят перед собой такую цель и готовы потратить на неё часть имеющихся у страны ресурсов.
С тем, что прямая демократия среди «вкусовых» или «целевых» вопросов будет выбирать правильный вариант, вряд ли имеет смысл спорить: всё-таки каждый человек более-менее в курсе, какие цвета или что-то там ещё ему нравятся. Поэтому в мифических недостатках прямой демократии явно фигурируют не такого рода вопросы, а как раз те, где объективно лучший из двух вариантов существует, что можно проверить экспериментально, и при априорном выборе варианта, таким образом, можно объективно ошибиться. Именно такие вопросы подразумеваются в дальнейшем тексте.
Простейшая модель принятия решений
Имеется коллектив из заданного количества человек, каждый из которых может выбрать вариант ответа из двух имеющихся.
Выигрывает вариант, который набрал большинство голосов.
Если голосов оказалось поровну (что возможно только при чётном количестве участников), мы будем считать, что коллективом выбран неправильный вариант.
При каждом голосовании подразумевается, что есть правильный и неправильный ответ. Для каждого участника при этом есть одинаковая для всех вероятность выбрать правильный.
Случай с неравными вероятностями дальше по тексту тоже будет рассмотрен.
Как именно каждый участник анализирует вопрос, здесь остаётся за кадром: фактически, вероятность принятия правильного решения как раз и эмулирует результат процесса всех этих ментальных колебаний, рассуждений, догадок и т.п., приводящих каждого из участников к правильному или неправильному ответу.
По сути оно означает: в таком-то проценте случаев каждый участник делает правильный выбор, а во всех остальных ошибается (что, например, было проверено чисто статистически - по результатам большого количества предыдущих голосований, после того, как стали известны последствия того или иного решения). Соответственно, в некотором следующем вопросе он угадает вот с такой вероятностью.
Вероятность правильного коллективного решения
Вероятность принять правильное решение путём прямого голосования находится из следующих соображений.
Результаты голосования имеют биномиальное распределение, поэтому функция, описывающая вероятность получить количество голосов «за», равное x, на этом распределении, выглядит следующим образом.
Здесь n - количество голосующих, а p - вероятность принять правильное решение каждым голосующим.
То, что написано в скобках, это - «биномиальный коэффициент.
А восклицательный знак - это, кто не знает, факториал. Произведение всех целых чисел от 1 до n.
Пример биномиального распределения для 100 голосующих и вероятности выбрать правильный ответ, равной 0,6 для каждого участника.
При голосовании побеждает вариант, набравший наибольшее количество голосов, а потому, чтобы найти вероятность победы правильного варианта, нам надо просуммировать (или проинтегрировать) все те варианты, где правильный вариант набрал конкретное количество голосов, большее половины участников.
Под знаком суммы стоит выражение со странными скобками. Это - обозначение ближайшего целого числа, которое меньше или равно стоящему в скобках. Например, для 4 такое число - 4 (оно само), а для 3,5 - 3.
При этом, чтобы потом не путаться в буквах, пусть количество участников называется nall, а вероятность принять правильное решение одним участником - p1.
Сравнив результаты применения формулы с результатами случайного численного моделирования (в котором, если что, моделируется только сам процесс выбора с заданной вероятностью каждого участника, голосования и подсчёта голосов, а данная формула никак не фигурирует), можно убедиться, что эта функция (на графике она зелёная) действительно правильно отображает данную закономерность (по оси Икс здесь отложена вероятность угадывания каждым участником, а по оси Игрек - вероятность угадывания всем коллективом по результатам голосования).
В дальнейшем проверки формул на численной модели приводиться не будут, однако для каждой формулы такая проверка была сделана.
Являются ли голосования независимыми случайными событиями?
Как показала практика, этот вопрос возникает очень часто, и вызвано это, видимо, превратными представлениями людей о термине «независимые случайные события». Поскольку же в предыдущем разделе подсчёты рассуждения велись так, будто бы события - независимые, требуется пояснение.
Людям часто кажется, будто бы, если два человека получили информацию из одного источника, а потом под её влиянием сделали выбор, то результаты их выбора уже нельзя считать независимыми случайными событиями.
Однако это представление крайне ошибочно.
Случайные события являются зависимыми, если уже состоявшийся исход одного из них меняет вероятность наступления исходов другого.
То, что, по нашему мнению, вероятности исходов между собой как-то связаны до наступления какого-то исхода, не делает случайные события зависимыми. И даже то, что вероятности одновременно менялись в одну сторону, тоже их таковыми не делает.
Если я с Васей долго тренировался играть в бадминтон, то моя вероятность выиграть в бадминтон у Пети, который не тренировался, выросла. И вероятность того, что Вася выиграет у Пети, тоже. Однако Васин выигрыш в матче с Петей никак не зависит от моего выигрыша в матче с Петей. Поскольку в тот момент, когда я у Пети выиграл, Васина вероятность выиграть у Пети может вырасти разве что потому, что Петя расстроился, заплакал и ему стало тяжелее играть.
Если же такого не произошло, и Петя играет как обычно, то наши с Васей у него выигрыши - независимые случайные события. Несмотря даже на то, что мы с Васей ой как натренировались путём многократных совместных игр.
Или, например, мы с Васей играли в игру «угадай число, которое выпадет на кубике». Я потом призадумался и сказал «что-то как-то несправедливо, что я выигрываю только тогда, когда выпадает 6, давай, я буду выигрывать на 4, 5, 6». После ответного «давай» вероятность моего выигрыша в каждой партии возросла втрое. А у моего соперника, соответственно, уменьшилась до 1/2 с 5/6. То есть вероятности поменялись одновременно. Однако от этого броски кубика, как и мои выигрыши, не перестали быть независимыми случайными событиями.
А вот мой выигрыш с Васиным проигрышем в каждой партии - зависимые случайные события, поскольку, как только я выиграл, Вася сразу проиграл.
Третий пример. Я с Васей договорился пойти в кафе. Мы оба присягнули на библии и на фотографии Вовы, что обязательно придём. Однако предыдущий опыт свидетельствует, что вероятность того, что каждый из нас придёт, в таких случаях составляет 80%.
Вроде бы мы даже специально договорились, но это всё равно независимые случайные события. Поскольку наша договорённость уже учтена в вероятности прихода каждого из нас: 80%.
Однако, когда я пришёл, Васи не было. Я позвонил его и сообщил ему, насколько глубоко он сейчас неправ: я его тут жду, а он… После этого Вася устыдился и вероятность его прихода стала 99%.
Вот тут мы уже имеем дело с зависимыми событиями: вероятность того, что Вася придёт, возросла от того, что я уже пришёл и сообщил об этом Васе. А если бы я не пришёл и, соответственно, не сообщил, то так 80% прихода Васи бы и осталось.
Правда, он вполне мог бы пойти по моим стопам и тоже позвонить мне, когда придёт и не обнаружит меня в условленном месте и тогда бы мы тоже поимели дело с зависимыми событиями.
Что интересно, мы могли бы друг друга обмануть, сказав, что уже на месте. Но тут всё зависело бы от наших оценок вероятностей того, что другой может обмануть. Так, если бы вероятность обмана в случае «я уже на месте» оценивалась бы как исчезающе малая, сами слова «я пришёл, ты где?» были бы практически тождественны самому факту прихода.
Но не суть. Суть в том, что без этой фразы и с этой фразы мы имеем дело с разными моделями и с разными событиями - хотя они и в разговорном языке называются одинаково: «приход в ресторан». А сама «вероятность» - это не свойство мира. Это - свойство нашей модели мира. Зависящей от имеющихся знаний о мире и степени неопределённости этих знаний.
Пока мы знаем только то, что оба пообещали прийти, события «приход» в нашей модели независимы: ведь никто из нас не знает, пришёл ли уже другой. Но вот если знание о том, что приход одного из нас уже состоялся, меняет вероятность прихода другого, и мы это хотим учесть в нашей модели, то события становятся зависимыми.
Аналогично, если мы в момент проставления Васей галочки напротив фамилии Вовы, вселенское информационное поле не меняет сознание Пети, усиливая или ослабляя его желание проголосовать за Вову, в зависимости от того, попал ли Вася в нужную клеточку, то результаты голосования Васи и Пети - независимые случайные события.
Даже если Вася с Петей до того двадцать лет смотрели рекламные ролики про всё множество Вовиных положительных качеств, кои довели вероятности их голосования за Вову до 99%. Вероятности у них обоих синхронно поменялись, но сами события остались независимыми.
Более того, даже если Вася, сразу, как только проголосовал, позвонил Пете и сообщил, как именно он проголосовал, а того это так сильно впечатлило, что он поменял своё мнение, в рассматриваемой модели эти события всё равно остаются независимыми, поскольку в ней рассматривается вероятность поставить галочку напротив правильного варианта за секунду до того, как вообще её поставить.
Да, у Пети вероятность поменялась из-за слов Васи о его голосовании, но мы в любом случае рассматриваем ту вероятность, которая есть у Пети к моменту проставления галочки.
Как уже было сказано, все ментальные колебания, общие источники информации и т.п. повлияли на вероятность выбора каждого человека, что и вылилось в среднюю вероятность выбора правильного варианта каждым из них.
На всякий случай, повторю ещё раз: события являются зависимыми, если в рамках модели состоявшийся исход одного события меняет вероятности исходов второго. Как там при этом между собой связаны эти вероятности до состоявшегося исхода, одновременно ли они поменялись и т.п., вообще без разницы.
Неравные вероятности для участников
Может возникнуть вопрос, корректно ли моделировать данный процесс одной и той же для каждого участника вероятностью угадать?
Ведь действительно, у людей могут быть разные знания по теме и разные интеллектуальные способности, а потому в каждом конкретном случае и даже в целом одни люди будут угадывать правильное решение чаще, чем другие.
Когда мы имеем дело с большой выборкой, то способности людей обычно будут иметь гауссово распределение. Вероятность угадать, зависящая от их способностей и знаний, скорее всего, тоже.
Если смоделировать процесс, учитывающий гауссово распределение вероятностей угадывания среди голосующих (например, вот такое) …
Тут показана форма и «ширина» распределения, позиция же его центра - переменная.
…то получится примерно следующая картина.
Графики, как можно видеть, совпадают с точностью до небольших, равномерных в обе стороны флуктуаций, то есть результаты таких моделей - идентичные.
То есть, при нормальном распределении вероятностей угадать и относительно большого количества участников на результатах сказывается преимущественно средняя по всей группе вероятность угадать, а поэтому её можно просто приписать каждому члену группы - на адекватности модели это заметным образом не отразится.
Является ли распределение гауссовым?
Может возникнуть вопрос, правомерно ли распределение полагать гауссовым?
Однако, как уже говорилось ранее, способности и познания людей обычно имеют примерно такое распределение. О том же свидетельствуют многочисленные результаты прохождения тестов, сдачи экзаменов и т.п.: частота правильных ответов имеет близкое к гауссовому распределение на всём множестве тестируемых.
Кроме того, нормальное (гауссово) распределение является «нулевой гипотезой» для процессов, подверженным случайным шумам, дающих равновероятные отклонения от среднего в обе стороны. Нет никаких сведений о том, что в случае именно с голосованием распределение знаний и способностей людей окажется радикально иным. А потому следует предполагать нормальность распределения вероятностей выбрать правильный ответ.
Впрочем, большинство распределений, исключая какие-то очень экзотические, всё равно подведут к выводам, весьма близким к сделанным для нормального.
Исследование на примерах
Теперь, когда мы имеем аналитически выраженную вероятность принятия правильного решения коллективом и обоснование её близости к реальному положению вещей, взглянем, как себя ведёт эта вероятность, в зависимости от количества голосующих и вероятности принять правильное решение каждым из них.
Её поведение может показаться очень неожиданным.
Например, если вероятность принять правильное решение у каждого участника коллектива из 1000 человек равна 0,51 (в 51% случаев он принимает правильное решение, а в 49% случаев - неправильное), то окажется, что весь коллектив большинством голосов принимает правильное решение примерно в 73% случаев.
Да-да, всего лишь двух процентов превосходства вероятности принять правильное решение над вероятностью принять неправильное при голосовании 1000 человек оказывается достаточно, чтобы коллектив большинством голосов в 73% случаев принимал правильное решение.
Иными словами, диктатору, чтобы сравниться в своей эффективности принятия решений с таким коллективом, надо было бы правильно угадывать с вероятностью 0,73 (по сравнению с 0,51 для каждого участника коллектива).
Такая разница в вероятностях может показаться не особо значительной: ведь диктатор - профессионал, а потому вполне может угадывать чаще, чем все эти непрофессионалы, однако задумайтесь вот о чём: в данном случае каждый участник угадывает правильное решение лишь самую малость лучше монетки, но диктатору, чтобы сравниться с таким коллективом, надо угадывать уже ощутимо лучше неё - примерно в трёх четвертях случаев.
Это всё ещё достижимо, но ведь вероятность угадывания каждого голосующего может быть и выше.
Если построить график вероятности правильного угадывания коллектива от вероятности угадывания каждым его участником, то он будет выглядеть вот так (как и раньше, по оси Икс здесь отложена вероятность угадывания каждым участником, а по оси Игрек - вероятность угадывания всем коллективом по результатам голосования).
По графику можно видеть, что, когда вероятность принять правильное решение для каждого участника достигает примерно 0,56, вероятность принятия правильного решения всем коллективом уже столь слабо отличается от единицы, что это невозможно разглядеть на графике.
Моделируй мы это численно при помощи случайных чисел, понадобились бы миллиарды попыток, чтобы хоть раз при вероятности принятия правильного решения каждым голосующим, равной, например, 60%, увидеть неправильное решение. Ведь в этом случае вероятность правильного коллективного решения равна 0,9999999999. Возможно ли найти такого «профессионала-диктатора» в реальности? Такого, который, можно считать, вообще никогда не ошибается?
Если мы возьмём коллектив побольше - 10 000 человек, - то наклон в начале данной кривой станет практически вертикальным: она очень быстро приближается к единице.
Для такого коллектива, чтобы ошибаться всего лишь один раз из ста, уже достаточно вероятности принятия правильного решения каждым из его участников равной 0,512.
С другой стороны, если взять коллектив поменьше - 100 человек, - то промежуток, на котором диктатор, способный поконкурировать с коллективом в смысле вероятности принятия правильных решений, возможен в нашей реальности, напротив, увеличивается.
Эффективность демократии в сравнении с диктатурой
Вывод, который можно сделать из вышеописанного, оказывается довольно контринтуитивным.
В философских рассуждениях о прямой демократии часто можно услышать что-то вроде: «ну да, когда людей у нас мало - совет из десятка специалистов, например, - демократия ещё хоть как-то работает, но вот при сотнях тысяч человек, конечно, вероятность принятия правильного решения весьма мала». Это - всё так же «философски», навскидку - обосновывается тем, что «сотни тысяч людей в основном состоят из непрофессионалов, поэтому, конечно, многие из них ошибутся и принятое большинством голосов решение будет неверным, тогда как умный, профессиональный диктатор скорее всего угадает лучше».
Однако вышепроделанный анализ показывает обратное: чем многочисленнее коллектив, тем выше должна быть вероятность угадывания у диктатора (при той же средней вероятности угадывания участников), чтобы он мог превзойти в эффективности принятия решений этот коллектив. Причём, при достаточно большом коллективе (больше десятка тысяч человек) сравнимый с ним диктатор вряд ли вообще может существовать в реальности, даже если вероятность угадывания каждого участника самую малость выше, чем при выборе путём броска монетки.
И, соответственно, чем многочисленнее коллектив, тем меньше нужна средняя вероятность угадывания участников, чтобы заткнуть за пояс некоторого конкретного диктатора.
Подчеркну, здесь есть одна существенная оговорка: средняя вероятность угадать правильное решение у участников коллектива должна быть больше ½. Эта оговорка чуть позже будет подробно рассмотрена.
Вот несколько значений для примера (единичная вероятность тут означает, что после точки идёт не меньше двадцати девяток).
В самой правой колонке тут находится та вероятность, с которой должен угадывать диктатор, чтобы быть не хуже коллектива с соответствующими параметрами.
Легко видеть, что уже при довольно небольших численностях и вероятностях угадывания у членов коллектива, диктатор должен иметь совершенно нереалистичную вероятность угадывания, на практике неотличимую от «вообще никогда не ошибается».
doc-файл
публикация на сайте «XX2 Век» 1
публикация в блоге автора 1
публикация на сайте «XX2 Век» 2
публикация в блоге автора 2
публикация на сайте «XX2 Век» 3
публикация в блоге автора 3
публикация в блоге автора 3 (окончание)
Что такое «прямая демократия»
Под «прямой демократией» иногда понимают прямое голосование за исполнительную или какую-либо ещё власть - в противовес системе, где означенную власть выбирает коллегия выборщиков, которых, в свою очередь, уже выбирают граждане (такая система, в частности, работает в США при выборах президента).
Однако более частое и, на мой взгляд, на данный момент уже более правильное понимание этого термина: система, при которой все или большинство решений принимаются напрямую общим голосованием. Подобная система для ряда вопросов используется, например, в Швейцарии в форме референдумов, а также в некоторых общественных организациях.
О «трудоёмкости» прямой демократии
Есть совершенно правильный вопрос: «каким образом каждый человек сумеет найти время, чтобы разбираться и голосовать по каждому поводу?».
Ответ на него: конечно же, никаким.
Для решения этой проблемы к прямой демократии должен прилагаться механизм делегирования голоса, краткий смысл которого в том, что каждый человек может назначить себе любое количество «делегатов» и в тех случаях, когда этот человек не проголосовал лично, его голос будет равномерно распределяться между его проголосовавшими делегатами.
Подбор делегатов при этом можно значительно упростить при помощи вычисления процента совпадений между этим человеком и каждым потенциальным кандидатом в делегаты в ответах на те вопросы, по которым они оба лично проголосовали.
Кандидатом при этом является каждый член той же группы, к которой относится данный вопрос (все жители дома, города, страны, общественной организации и т.п.).
Подробное описание этого механизма, равно как и его исследование - тема для отдельной статьи, здесь же будут рассматриваться иные вопросы, однако из этого никак не следует, что про этот механизм ничего не известно или что информацию о нём кто-то скрывает. О нет, это не скрывается и будет изложено в дальнейшем.
Ошибочность интуитивных представлений
До развития интернета прямую демократию было не так-то просто устроить, поскольку, как это, например, делалось в древнегреческих городах-государствах, всех участников приходилось собирать одновременно в одном месте, а подсчёт голосов вести не точно, а приблизительно. Однако сейчас организация голосования по интернету столь проста, что вряд ли имеет смысл вести речь о технических сложностях.
Сложности в основном психологические.
Даже от сторонников прямой демократии можно услышать фразы вроде «да, конечно, прямая демократия работает более медленно и чаще ошибается за счёт непрофессионализма голосующих, чем система с лидером во главе, зато при ней у принимающих решения вряд ли будет злонамеренность против самих же себя, она более справедлива и лучше отражает точку зрения большинства, а также при ней сильно затруднена узурпация власти».
«Она работает медленнее» кажется интуитивно понятным, однако теория вероятности очень часто бывает контринтуитивна, и в результате интуитивно понятное может очень сильно не соответствовать реальности.
Данный вопрос - пример именно такого случая.
Не умаляя всего того, что в «интуитивном суждении» идёт после «зато», я намереваюсь показать, что вместо «зато» следовало бы писать «вдобавок», поскольку первая часть утверждения - перечисляющая недостатки прямой демократии - на самом деле базируется на чисто умозрительных суждениях, которые отличаются от того, что есть на самом деле, с точностью до наоборот. И оное будет показано уже не умозрительно, а на фундаменте теории вероятности и экспериментальной проверки на статистических моделях.
Терминология и «правила игры»
Вариантов устройства прямой демократии довольно много, и, хотя они обладают многими схожими чертами (главная из которых - принятие решений по каждому вопросу всеми гражданами, а не узкой группой лиц), другие аспекты у них разнятся, что оказывается критичным и для анализа, и для выводов по его результатам. Поэтому далее будет рассматриваться вариант прямой демократии, соответствующий следующим принципам.
- Один человек - один голос.
- Решение принимается большинством голосов.
Кроме того,…
- Для простоты предполагается, что для каждого вопроса выбор делается между двумя ответами.
- Также для простоты считается, что все участники проголосовали полным составом (кроме как в разделах, где исследуется скорость принятия решений).
Эти два положения не оказывают существенного влияния на выводы, однако существенно упрощают понимание закономерностей, присущих прямой демократии.
И ещё о терминах.
«Участники» - это все те, кто своими голосами принимают решения. Синонимом для них является слово «голосующие». А в совокупности они будут называться «коллективом».
В противовес этой системе будет рассматриваться система, где решение принимает один человек. При этом не важно, кто это - монарх ли, избранный президент, неформальный лидер и т.п. Его я буду называть «диктатором», а саму систему «диктатурой».
Да, кажется, что такого человека следовало бы назвать «лидером», однако слово «лидер» имеет слишком много вариантов восприятия. Им, например, может быть человек, который пользуется уважением, или, скажем, вдохновляет людей на какие-то деяния. Однако в контексте рассматриваемой проблемы важна лишь одна «лидерская» черта: право монопольно принимать решения, то есть «диктовать» решения всем остальным. Термин «диктатор», на мой взгляд, сильнее ассоциируется с этим правом, чем «лидер», поэтому используется именно он. И это не следует понимать, как попытку очернить абстрактного «лидера» при помощи термина, имеющего отрицательные коннотации.
Кроме того, в статье подразумевается, что рассматриваемые голосующими или диктатором вопросы имеют объективно лучший вариант решения.
Дело в том, что ряд вопросов, которые могут встать перед коллективом или диктатором, «правильного» ответа не имеет. Так, например, то, в какой цвет следует покрасить стены в подъезде, зависит исключительно от пристрастий большинства жильцов этого подъезда. И зелёный цвет тут будет не более «объективно правильным», чем синий - всё зависит от того, какой из них жильцам в среднем больше нравится. Даже соображения вида «такой-то цвет успокаивает» в этом случае не спасут: ведь то, что он «успокаивает», было проверено на некоторой выборке людей, однако в подъезде проживают другие люди, и конкретно их этот цвет может, наоборот, раздражать, или, как вариант, большинство из них как раз не хотело бы, чтобы их успокаивал цвет стен подъезда.
С другой стороны, выбор между, например, проектами космического корабля для колонизации Марса уже можно сделать правильно или неправильно: выбрав объективно более хороший (в смысле достижения поставленной цели) или плохой проект. Этим выбор проекта принципиально отличается от «декларации намерений» - решения, что большинству, скажем, граждан страны хотелось бы колонизации Марса в ближайшее время, а потому они ставят перед собой такую цель и готовы потратить на неё часть имеющихся у страны ресурсов.
С тем, что прямая демократия среди «вкусовых» или «целевых» вопросов будет выбирать правильный вариант, вряд ли имеет смысл спорить: всё-таки каждый человек более-менее в курсе, какие цвета или что-то там ещё ему нравятся. Поэтому в мифических недостатках прямой демократии явно фигурируют не такого рода вопросы, а как раз те, где объективно лучший из двух вариантов существует, что можно проверить экспериментально, и при априорном выборе варианта, таким образом, можно объективно ошибиться. Именно такие вопросы подразумеваются в дальнейшем тексте.
Простейшая модель принятия решений
Имеется коллектив из заданного количества человек, каждый из которых может выбрать вариант ответа из двух имеющихся.
Выигрывает вариант, который набрал большинство голосов.
Если голосов оказалось поровну (что возможно только при чётном количестве участников), мы будем считать, что коллективом выбран неправильный вариант.
При каждом голосовании подразумевается, что есть правильный и неправильный ответ. Для каждого участника при этом есть одинаковая для всех вероятность выбрать правильный.
Случай с неравными вероятностями дальше по тексту тоже будет рассмотрен.
Как именно каждый участник анализирует вопрос, здесь остаётся за кадром: фактически, вероятность принятия правильного решения как раз и эмулирует результат процесса всех этих ментальных колебаний, рассуждений, догадок и т.п., приводящих каждого из участников к правильному или неправильному ответу.
По сути оно означает: в таком-то проценте случаев каждый участник делает правильный выбор, а во всех остальных ошибается (что, например, было проверено чисто статистически - по результатам большого количества предыдущих голосований, после того, как стали известны последствия того или иного решения). Соответственно, в некотором следующем вопросе он угадает вот с такой вероятностью.
Вероятность правильного коллективного решения
Вероятность принять правильное решение путём прямого голосования находится из следующих соображений.
Результаты голосования имеют биномиальное распределение, поэтому функция, описывающая вероятность получить количество голосов «за», равное x, на этом распределении, выглядит следующим образом.
Здесь n - количество голосующих, а p - вероятность принять правильное решение каждым голосующим.
То, что написано в скобках, это - «биномиальный коэффициент.
А восклицательный знак - это, кто не знает, факториал. Произведение всех целых чисел от 1 до n.
Пример биномиального распределения для 100 голосующих и вероятности выбрать правильный ответ, равной 0,6 для каждого участника.
При голосовании побеждает вариант, набравший наибольшее количество голосов, а потому, чтобы найти вероятность победы правильного варианта, нам надо просуммировать (или проинтегрировать) все те варианты, где правильный вариант набрал конкретное количество голосов, большее половины участников.
Под знаком суммы стоит выражение со странными скобками. Это - обозначение ближайшего целого числа, которое меньше или равно стоящему в скобках. Например, для 4 такое число - 4 (оно само), а для 3,5 - 3.
При этом, чтобы потом не путаться в буквах, пусть количество участников называется nall, а вероятность принять правильное решение одним участником - p1.
Сравнив результаты применения формулы с результатами случайного численного моделирования (в котором, если что, моделируется только сам процесс выбора с заданной вероятностью каждого участника, голосования и подсчёта голосов, а данная формула никак не фигурирует), можно убедиться, что эта функция (на графике она зелёная) действительно правильно отображает данную закономерность (по оси Икс здесь отложена вероятность угадывания каждым участником, а по оси Игрек - вероятность угадывания всем коллективом по результатам голосования).
В дальнейшем проверки формул на численной модели приводиться не будут, однако для каждой формулы такая проверка была сделана.
Являются ли голосования независимыми случайными событиями?
Как показала практика, этот вопрос возникает очень часто, и вызвано это, видимо, превратными представлениями людей о термине «независимые случайные события». Поскольку же в предыдущем разделе подсчёты рассуждения велись так, будто бы события - независимые, требуется пояснение.
Людям часто кажется, будто бы, если два человека получили информацию из одного источника, а потом под её влиянием сделали выбор, то результаты их выбора уже нельзя считать независимыми случайными событиями.
Однако это представление крайне ошибочно.
Случайные события являются зависимыми, если уже состоявшийся исход одного из них меняет вероятность наступления исходов другого.
То, что, по нашему мнению, вероятности исходов между собой как-то связаны до наступления какого-то исхода, не делает случайные события зависимыми. И даже то, что вероятности одновременно менялись в одну сторону, тоже их таковыми не делает.
Если я с Васей долго тренировался играть в бадминтон, то моя вероятность выиграть в бадминтон у Пети, который не тренировался, выросла. И вероятность того, что Вася выиграет у Пети, тоже. Однако Васин выигрыш в матче с Петей никак не зависит от моего выигрыша в матче с Петей. Поскольку в тот момент, когда я у Пети выиграл, Васина вероятность выиграть у Пети может вырасти разве что потому, что Петя расстроился, заплакал и ему стало тяжелее играть.
Если же такого не произошло, и Петя играет как обычно, то наши с Васей у него выигрыши - независимые случайные события. Несмотря даже на то, что мы с Васей ой как натренировались путём многократных совместных игр.
Или, например, мы с Васей играли в игру «угадай число, которое выпадет на кубике». Я потом призадумался и сказал «что-то как-то несправедливо, что я выигрываю только тогда, когда выпадает 6, давай, я буду выигрывать на 4, 5, 6». После ответного «давай» вероятность моего выигрыша в каждой партии возросла втрое. А у моего соперника, соответственно, уменьшилась до 1/2 с 5/6. То есть вероятности поменялись одновременно. Однако от этого броски кубика, как и мои выигрыши, не перестали быть независимыми случайными событиями.
А вот мой выигрыш с Васиным проигрышем в каждой партии - зависимые случайные события, поскольку, как только я выиграл, Вася сразу проиграл.
Третий пример. Я с Васей договорился пойти в кафе. Мы оба присягнули на библии и на фотографии Вовы, что обязательно придём. Однако предыдущий опыт свидетельствует, что вероятность того, что каждый из нас придёт, в таких случаях составляет 80%.
Вроде бы мы даже специально договорились, но это всё равно независимые случайные события. Поскольку наша договорённость уже учтена в вероятности прихода каждого из нас: 80%.
Однако, когда я пришёл, Васи не было. Я позвонил его и сообщил ему, насколько глубоко он сейчас неправ: я его тут жду, а он… После этого Вася устыдился и вероятность его прихода стала 99%.
Вот тут мы уже имеем дело с зависимыми событиями: вероятность того, что Вася придёт, возросла от того, что я уже пришёл и сообщил об этом Васе. А если бы я не пришёл и, соответственно, не сообщил, то так 80% прихода Васи бы и осталось.
Правда, он вполне мог бы пойти по моим стопам и тоже позвонить мне, когда придёт и не обнаружит меня в условленном месте и тогда бы мы тоже поимели дело с зависимыми событиями.
Что интересно, мы могли бы друг друга обмануть, сказав, что уже на месте. Но тут всё зависело бы от наших оценок вероятностей того, что другой может обмануть. Так, если бы вероятность обмана в случае «я уже на месте» оценивалась бы как исчезающе малая, сами слова «я пришёл, ты где?» были бы практически тождественны самому факту прихода.
Но не суть. Суть в том, что без этой фразы и с этой фразы мы имеем дело с разными моделями и с разными событиями - хотя они и в разговорном языке называются одинаково: «приход в ресторан». А сама «вероятность» - это не свойство мира. Это - свойство нашей модели мира. Зависящей от имеющихся знаний о мире и степени неопределённости этих знаний.
Пока мы знаем только то, что оба пообещали прийти, события «приход» в нашей модели независимы: ведь никто из нас не знает, пришёл ли уже другой. Но вот если знание о том, что приход одного из нас уже состоялся, меняет вероятность прихода другого, и мы это хотим учесть в нашей модели, то события становятся зависимыми.
Аналогично, если мы в момент проставления Васей галочки напротив фамилии Вовы, вселенское информационное поле не меняет сознание Пети, усиливая или ослабляя его желание проголосовать за Вову, в зависимости от того, попал ли Вася в нужную клеточку, то результаты голосования Васи и Пети - независимые случайные события.
Даже если Вася с Петей до того двадцать лет смотрели рекламные ролики про всё множество Вовиных положительных качеств, кои довели вероятности их голосования за Вову до 99%. Вероятности у них обоих синхронно поменялись, но сами события остались независимыми.
Более того, даже если Вася, сразу, как только проголосовал, позвонил Пете и сообщил, как именно он проголосовал, а того это так сильно впечатлило, что он поменял своё мнение, в рассматриваемой модели эти события всё равно остаются независимыми, поскольку в ней рассматривается вероятность поставить галочку напротив правильного варианта за секунду до того, как вообще её поставить.
Да, у Пети вероятность поменялась из-за слов Васи о его голосовании, но мы в любом случае рассматриваем ту вероятность, которая есть у Пети к моменту проставления галочки.
Как уже было сказано, все ментальные колебания, общие источники информации и т.п. повлияли на вероятность выбора каждого человека, что и вылилось в среднюю вероятность выбора правильного варианта каждым из них.
На всякий случай, повторю ещё раз: события являются зависимыми, если в рамках модели состоявшийся исход одного события меняет вероятности исходов второго. Как там при этом между собой связаны эти вероятности до состоявшегося исхода, одновременно ли они поменялись и т.п., вообще без разницы.
Неравные вероятности для участников
Может возникнуть вопрос, корректно ли моделировать данный процесс одной и той же для каждого участника вероятностью угадать?
Ведь действительно, у людей могут быть разные знания по теме и разные интеллектуальные способности, а потому в каждом конкретном случае и даже в целом одни люди будут угадывать правильное решение чаще, чем другие.
Когда мы имеем дело с большой выборкой, то способности людей обычно будут иметь гауссово распределение. Вероятность угадать, зависящая от их способностей и знаний, скорее всего, тоже.
Если смоделировать процесс, учитывающий гауссово распределение вероятностей угадывания среди голосующих (например, вот такое) …
Тут показана форма и «ширина» распределения, позиция же его центра - переменная.
…то получится примерно следующая картина.
Графики, как можно видеть, совпадают с точностью до небольших, равномерных в обе стороны флуктуаций, то есть результаты таких моделей - идентичные.
То есть, при нормальном распределении вероятностей угадать и относительно большого количества участников на результатах сказывается преимущественно средняя по всей группе вероятность угадать, а поэтому её можно просто приписать каждому члену группы - на адекватности модели это заметным образом не отразится.
Является ли распределение гауссовым?
Может возникнуть вопрос, правомерно ли распределение полагать гауссовым?
Однако, как уже говорилось ранее, способности и познания людей обычно имеют примерно такое распределение. О том же свидетельствуют многочисленные результаты прохождения тестов, сдачи экзаменов и т.п.: частота правильных ответов имеет близкое к гауссовому распределение на всём множестве тестируемых.
Кроме того, нормальное (гауссово) распределение является «нулевой гипотезой» для процессов, подверженным случайным шумам, дающих равновероятные отклонения от среднего в обе стороны. Нет никаких сведений о том, что в случае именно с голосованием распределение знаний и способностей людей окажется радикально иным. А потому следует предполагать нормальность распределения вероятностей выбрать правильный ответ.
Впрочем, большинство распределений, исключая какие-то очень экзотические, всё равно подведут к выводам, весьма близким к сделанным для нормального.
Исследование на примерах
Теперь, когда мы имеем аналитически выраженную вероятность принятия правильного решения коллективом и обоснование её близости к реальному положению вещей, взглянем, как себя ведёт эта вероятность, в зависимости от количества голосующих и вероятности принять правильное решение каждым из них.
Её поведение может показаться очень неожиданным.
Например, если вероятность принять правильное решение у каждого участника коллектива из 1000 человек равна 0,51 (в 51% случаев он принимает правильное решение, а в 49% случаев - неправильное), то окажется, что весь коллектив большинством голосов принимает правильное решение примерно в 73% случаев.
Да-да, всего лишь двух процентов превосходства вероятности принять правильное решение над вероятностью принять неправильное при голосовании 1000 человек оказывается достаточно, чтобы коллектив большинством голосов в 73% случаев принимал правильное решение.
Иными словами, диктатору, чтобы сравниться в своей эффективности принятия решений с таким коллективом, надо было бы правильно угадывать с вероятностью 0,73 (по сравнению с 0,51 для каждого участника коллектива).
Такая разница в вероятностях может показаться не особо значительной: ведь диктатор - профессионал, а потому вполне может угадывать чаще, чем все эти непрофессионалы, однако задумайтесь вот о чём: в данном случае каждый участник угадывает правильное решение лишь самую малость лучше монетки, но диктатору, чтобы сравниться с таким коллективом, надо угадывать уже ощутимо лучше неё - примерно в трёх четвертях случаев.
Это всё ещё достижимо, но ведь вероятность угадывания каждого голосующего может быть и выше.
Если построить график вероятности правильного угадывания коллектива от вероятности угадывания каждым его участником, то он будет выглядеть вот так (как и раньше, по оси Икс здесь отложена вероятность угадывания каждым участником, а по оси Игрек - вероятность угадывания всем коллективом по результатам голосования).
По графику можно видеть, что, когда вероятность принять правильное решение для каждого участника достигает примерно 0,56, вероятность принятия правильного решения всем коллективом уже столь слабо отличается от единицы, что это невозможно разглядеть на графике.
Моделируй мы это численно при помощи случайных чисел, понадобились бы миллиарды попыток, чтобы хоть раз при вероятности принятия правильного решения каждым голосующим, равной, например, 60%, увидеть неправильное решение. Ведь в этом случае вероятность правильного коллективного решения равна 0,9999999999. Возможно ли найти такого «профессионала-диктатора» в реальности? Такого, который, можно считать, вообще никогда не ошибается?
Если мы возьмём коллектив побольше - 10 000 человек, - то наклон в начале данной кривой станет практически вертикальным: она очень быстро приближается к единице.
Для такого коллектива, чтобы ошибаться всего лишь один раз из ста, уже достаточно вероятности принятия правильного решения каждым из его участников равной 0,512.
С другой стороны, если взять коллектив поменьше - 100 человек, - то промежуток, на котором диктатор, способный поконкурировать с коллективом в смысле вероятности принятия правильных решений, возможен в нашей реальности, напротив, увеличивается.
Эффективность демократии в сравнении с диктатурой
Вывод, который можно сделать из вышеописанного, оказывается довольно контринтуитивным.
В философских рассуждениях о прямой демократии часто можно услышать что-то вроде: «ну да, когда людей у нас мало - совет из десятка специалистов, например, - демократия ещё хоть как-то работает, но вот при сотнях тысяч человек, конечно, вероятность принятия правильного решения весьма мала». Это - всё так же «философски», навскидку - обосновывается тем, что «сотни тысяч людей в основном состоят из непрофессионалов, поэтому, конечно, многие из них ошибутся и принятое большинством голосов решение будет неверным, тогда как умный, профессиональный диктатор скорее всего угадает лучше».
Однако вышепроделанный анализ показывает обратное: чем многочисленнее коллектив, тем выше должна быть вероятность угадывания у диктатора (при той же средней вероятности угадывания участников), чтобы он мог превзойти в эффективности принятия решений этот коллектив. Причём, при достаточно большом коллективе (больше десятка тысяч человек) сравнимый с ним диктатор вряд ли вообще может существовать в реальности, даже если вероятность угадывания каждого участника самую малость выше, чем при выборе путём броска монетки.
И, соответственно, чем многочисленнее коллектив, тем меньше нужна средняя вероятность угадывания участников, чтобы заткнуть за пояс некоторого конкретного диктатора.
Подчеркну, здесь есть одна существенная оговорка: средняя вероятность угадать правильное решение у участников коллектива должна быть больше ½. Эта оговорка чуть позже будет подробно рассмотрена.
Вот несколько значений для примера (единичная вероятность тут означает, что после точки идёт не меньше двадцати девяток).
В самой правой колонке тут находится та вероятность, с которой должен угадывать диктатор, чтобы быть не хуже коллектива с соответствующими параметрами.
Легко видеть, что уже при довольно небольших численностях и вероятностях угадывания у членов коллектива, диктатор должен иметь совершенно нереалистичную вероятность угадывания, на практике неотличимую от «вообще никогда не ошибается».
doc-файл
публикация на сайте «XX2 Век» 1
публикация в блоге автора 1
публикация на сайте «XX2 Век» 2
публикация в блоге автора 2
публикация на сайте «XX2 Век» 3
публикация в блоге автора 3
публикация в блоге автора 3 (окончание)