Теорема Ферма для школьников
Теорема Ферма для школьников
Теорему Ферма решили в 1995 году неким Эндрю Уайлсом. 300 с лишним лет решить не могли. Но теорема задана в понятиях обычной классической математики , "школьной" как мы сказали бы сегодня. Так что решение с помоьбю сложных разделов высшей математики, созданных в 20 век, это выглядит странно. Тем боле, что сам Ферма признался, что он-то теоремы решил, что было в конце 17 века.
Формулируется она просто: некое целой положительное число в степени n (где n также целое положительное число , но больше 2-х) не может быть равно двум другим числам в той же степени (то есть, x³+y³=z³ невозможно) . Произошла теорема как следствие из теоремы Пифагора: x²+y²=z², то есть, 9+16=25 , где 9 - это 3 в квадрате, 16 - это 4 в квадрате, а 25 - это 5 в квадрате...
***
Начнем с третьей степени, то есть, с куба.
Допустим есть куб со сторона которого равны "a" , то есть, куб равен "а" в третьей степени, или "в кубе".
Смотрим на рисунке.
Делим целое положительное число "а" на два целых положительных отрезка "b" и "с" (если, например а=12, то "b" может быть равно 5, а "с" тогда ровно 7).
Внутри этого куба помещаем куб "b³" (то есть, "b" в третьей степени) .
Тогда оставшийся объем можно представить как c³+3abc.
Тут надо внимательно посмотреть на рисунок. На нём видно , что в пространстве в куба "а³" размещены куб "b³" и куб "c³". Например, куб "b³" расположен внизу впереди слева, тогда куб "c³" расположены сзади от нас вверху справа. Оставшееся пространство занимают три прямоугольника "abc".
Это выражение c³+3abc можно изменить как: с( с²+3ab).
Это выражение "с( с²+3ab)" должно быть кубом, точнее, должно быть доказано, что кубом быть не может.
Посмотрим ещё раз на изображение куба. А потом опять на наше "выражение" . Очевидно, что при любом значение "c" это выражение не может быть кубом . При любом, Карл! Потому что, чтобы оно стало кубом.
часть выражения, которая в скобках - ( с²+3ab) - должна быть равна " с² ", а оно больше на величину 3ab.
Итак, для третьей степени доказательство мы показали выше.
Но собственно решение должно быть показано для степени "n", то есть для любой степени больше двух. То есть, так:
xn+yn=zn.
***
Каждая новая степень есть умножение предыдущей. То есть, четвертая степень это куб (третья степень) "а" умноженный на "а", а пятая степень - это a³ умноженное на a2 .
То есть "а" в четвертой степени - это куб, выстроенный как брусок из кубов числом "а". 5-ая степень - это квадратная плита из кубиков (а в третьей степени) со сторонами "а". А шестая степень опять будет собой представлять куб, для которого мы уже доказали невозможность равенства одного куба двум другим для стороны кубов, являющихся целым положительным числом. То есть, для полного доказательства нам нужно доказать теорему для четвертой и пятой степеней.
***
Если a4 , тогда:
a4 = b³(b+c) + c³( b+c) + 3a²bc. (то есть, все части a³ умножили на a или на "(b+c)", что то же самое ("b+c"="a").
Преобразуем и получим:
a4 = b4 +cb³ + c³b+c4 + 3a²bc.
Теперь нам остается доказать, что " cb³ + c³b+c4 + 3a²bc" не является четвертой степенью "а". Для этого выносим за скобки "c" и получаем:
c (b³ + c²b+c³ + 3a²b). Чтобы это выражение было четвертой степенью "c" , нужно чтобы выражение в скобках равнялось c³ , но это невозможно, так как оно очевидно больше на величину "b³ + c²b+ 3a²b ".
Если a5 , тогда:
a5 = b³(b+c) ² + c³( b+c) ² + 3a³bc.
После преобразований получим:
a5 = b³(b²+c² + 2 bc) + c³( b²+c² + 2 bc) + 3a³bc.
a5 = b5 + ( b³c² + 2 b4c + b²c³+c5 + 2 bc4 + 3a³bc)
Теперь нужно доказать, что выражение в скобках не является пятой степенью какого либо целого положительного числа. Также выносим за скобку с, и видим, что это выражение c (b³c + 2 b4 + b²c²+c4 + 2 bc³ + 3a³b ) не может быть равным с в четвертой степени ("c4 ") ни при каких значения "с", так в скобках величина должна быть равной "c4 ", но явно больше на величину " b³c + 2 b4 + b²c² + 2 bc³ + 3a³b"
Что и требовалось доказать . Решение теоремы Ферма заняло 2 страницы.