По ту сторону фокуса
«В поисках онтологии квантового мира», серия 10.
Переходим к рассказу о том, как всё же физики проводят измерения в КМ, несмотря на то что сделать это, вроде бы, совершенно невозможно, как было показано в предыдущей серии.
Здесь нам придется потратить немного времени на знакомство с элементами математического аппарата, без которого очень сложно здесь обойтись. Впрочем, мы коснёмся этого чуть-чуть, только в той степени, насколько это необходимо для понимания сути дела. При этом математическую символику здесь надо воспринимать, скорее, как некую семиотическую, знаковую форму, способы выражения (онтологического) содержания. Процедурно-математическая сторона дела почти не затрагивается.
1. Матрица плотности
Как вы помните вектор состояния (волновая функция) выглядит в обозначениях Дирака следующим образом : |a> - это кет-вектор. Сопряженный ему бра-вектор рисуется наоборот: < a| . С формальной точки зрения в сопряженном векторе все i (мнимые единицы) меняют знак на противоположный.
А если теперь эти закорючки объединить - < b|a > - то получится бра-кет (скобка). С математической точки зрения, это просто скалярное произведение векторов, то есть - число (комплексное в общем случае), которое описывает (с точки зрения КМ) переход квантового объекта из состояния |а> в состояние |b>. Иначе говоря, описывает следующую ситуацию: объект находится в состоянии |а> , а его хотят засечь ("измерить") датчиком, который ловит состояние |b>, и вот квадрат этого числа - бра-кета ("амплитуды") - есть вероятность срабатывания этого датчика.
Собственно, нам и надо тут разобраться, откуда вдруг взялась вероятность, если в самих волновых функциях (векторах состояния) никакой такой вероятности нет.
Возвращаясь к нашим бра-кетам: произведение вектора на самого себя < a|a > должно быть, естественно, единицей (вероятность поймать состояние |а> как состояние |а> - это, безусловно, единица). Если же произведение < b|a > равно 0, то понятно, что датчик никогда не сработает. Вот набор таких векторов, попарное перемножение которых даёт 0, называется ортогональным базисом.
После минимального восстановления контекста переходим собственно к матрицам плотности. Выше мы рассмотрели (пробегая галопом) одну из комбинаций закорючек бра и кет, а теперь "сложим" их по другому: |a >< a| . Это теперь не число, а оператор, который может быть записан как матрица: приставляем одновременно слева и справа вектора базиса, перебираем все возможные варианты и записываем в виде матрицы. Которая и есть матрица плотности, cответствующая вектору |a>, т.е. две эти формы описания квантового объекта - вектор состояния и матрица плотности - совершенно эквивалентны по содержанию.
Пример. Возьмем состояние фотона в базисе правой и левой круговых поляризаций (см. серию 1)
|S> = (1/√2)( |П> + |Л> )
Сопряженный бра-вектор будет почти такой же (у нас здесь нет комплексных коэффициентов):
< S| = (1/√2)( < П| + < Л| )
Посчитаем угловой элемент МП (0,0), то бишь (П, П):
< П|S >< S|П > = < П| (1/√2)(|П > + |Л >) (1/√2)(< П| + < Л| )|П >
< П|Л > и < Л|П > обращаются в 0, как ортогональные, а < П|П > - это, очевидно, 1.
В результате получаем:
< П|S >< S|П > = 1/2
Аналогично находим все остальные элементы МП, после простенького расчета получаем:
½ ½
½ ½
Вот так выглядит МП фотона в базисе (П, Л). Что здесь можно отметить:
а) сумма диагональных элементов матрицы равна единице. Это обязательно выполняется для любой МП
б) имеются недиагональные элементы - это как раз свойственно квантовым объектам, недиагональные элементы выражают типичные для КМ интерференционные эффекты (запутанность для многочастичных состояний). От недиагональных элементов можно "избавиться", перейдя в подходящий базис, тогда останется один и только один диагональный элемент - система будет находиться в собственном (чистом) состоянии этого нового базиса.
2. Матрица плотности для классики.
Можно рассмотреть через матрицу плотности (статистический оператор) не только квантовое состояние, но и классическое. Допустим, мы подбросили монетку и затем применили к ней "оператор измерения", который фиксирует результат в таблице. Поскольку монетка при этом не переворачивается, то в нашей таблице будет только один элемент, диагональный и равный единице, - или (0,0), или (1,1) - или монетка упала решкой вверх, или вниз.
Подбросим монетку 100 раз и сложим соответствующие единичные МП, получится что-то вроде этого:
42 0
0 58
Если проделать очень большое количество испытаний (в пределе - бесконечно большое) и отнормировать МП - перейти от частот к вероятностям, то получим, очевидно:
½ 0
0 ½
Недиагональных элементов здесь, естественно, не будет, поскольку от посмотра монетка не переворачивается.
3. Следите теперь за руками.
Зафиксируем вышеизложенные семиотические упражнения в графической форме (см. сх. 1)
У нас здесь две знаковые формы (верхняя часть схемы) - квантовая МП и классическая МП, каждая из которых выражает своё содержание (свою действительность). Первая - квантовый объект, вторая - вероятность классических событий. Понятно, что содержание у них совершенно разное, но вот (знаковая) форма очень похожа. Так и хочется стереть недиагональные элементы в первой МП и получить тем самым вторую:
½ ½ → ½ 0
½ ½ 0 ½
Возможно, вы будете удивлены, но в физике так и поступают. «Если нельзя, но очень хочется, то можно».
Существуют два основных способа избавления от недиагональных элементов МП:
а) Старая добрая "редукция" (она же - "коллапс волновой функции"). Здесь это делают просто и без затей - да, просто вычеркивают. И всё.
б) Второй способ назвали "декогеренцией". Здесь несколько хитрей. "Огрубление" (как скромно именуют это действие в КМ) производится через так называемое частичное усреднение МП (вычисление частичного следа по тем степеням свободы, которые нас не интересуют).
Не будем особо вдаваться в механику этого дела (хотя это всё очень просто - действительно, всего лишь усреднение). А по сути - это то же самое вычеркивание недиагональных элементов, только лишь с одним дополнительным условием - те базисные вектора, по которым производится усреднение, должны быть ортогональны.
Ясно дело, что состояния прибора - стрелочка вверх, стрелочка вниз - непременно ортогональны (эти состояния не могут случиться одновременно). Но такая ортогональность устанавливается не сразу, а где-то обычно за 10 в степени -30 ~ -40 секунд. Довольно быстро, надо заметить, но всё же это позволяет говорить о процессе декогеренции.
А если быть точнее, то здесь надо говорить о двух компонентах понятия декогеренции: прежде всего это искусственное, волевое, так сказать, действие физика по избавлению от недиагональных элементов, а во-вторых, это естественный, природный процесс, который обеспечивает условия для такой волевой акции. То бишь здесь вводится некоторое (не очень правда обременительное в обычных ситуациях) ограничение на волюнтаристское вычеркивание (если сравнивать с простой редукцией).
4. А смысл?
Ловкость рук физики демонстрируют вовсе не из любви к чистому искусству, а из-за самой что ни на есть жизненной необходимости. Ибо вот только так - через огрубление и декогеренцию - удаётся "вытащить" прибор из запутанного состояния и получить моральное право взглянуть на показания стрелочек. Как вы помните, квантовое взаимодействие описывается через запутанное состояние:
|S> = с1∙|a1>|b1> + c2∙|a2>|b2>
из которого мы не можем выделить законным образом ни измеряемый объект (a), ни прибор (b). Переведем теперь эту волновую функцию в форму МП (в базисе : |a1>|b1>, |a1>|b2>, |a2>|b1>, |a2>|b2>):
|с1|2 0 0 с1с2*
0 0 0 0
0 0 0 0
с2с1* 0 0 |с2|2
Если теперь усреднить МП по всем степеням свободы, кроме A, то получаем совсем простую табличку:
|с1|2 0
0 |с2|2
То бишь мы "вытащили" таким образом измеряемый объект и "прикрепили" к нему измеренное свойство - с вероятностью |с1|2 оно будет равно a1, а с вероятностью |с2|2 будет - a2. Но возникает вопрос - как это стало возможным? Ведь недавно только говорилось, что невозможно "вынуть" отдельный объект из запутанного состояния. Ну, понятно, что был проделан трюк - вычеркивание запутанности под видом усреднения. Теперь осталось выяснить, в чем логический и онтологический смысл этого фокуса.
С одной стороны, мы, вроде, осуществили чисто формальное движение - от полной МП к усредненной. Но каждая из этих МП есть знаковая форма, выражающая некое содержание. И содержание у них принципиально разное: действительность первой - КМ-объекты, а второй - классические события. То есть мы просто перешли от одного языка описания (со своим онтологическим содержанием), квантового, к другому языку (и онтологии) - классическому. Потеряв при этом всю квантово-механическую специфику (благодаря огрублению-усреднению). См. сх. 2.
Собственно, "ловкость рук" заключается в том, что эти две знаковые формы (две МП) очень похожи друг на друга (чисто внешне), хотя и имеют совершенно разное содержание. И вот, пользуясь этой похожестью, физики "подкладывают" под чисто формальное действие как бы новое содержание, склеивают из двух онтологий (квантовой и классической) одну "самопальную". То бишь интерпретируют декогеренцию как физический процесс (см. сх. 3).
Но мы-то теперь знаем устройство этого фокуса :) Нас теперь не проведешь, и логический переход от одного языка к другому мы теперь не перепутаем с объективным физическим процессом.