задача дня-11

[falcao]

Давненько уже не было постов под этим "тегом". А сейчас очень симпатичная задача попалась. В принципе, поучаствовать в её решении могут все желающие, так как условие должно быть предельно понятным

Comments

[fdo_eq]

Более естественным представляется такое обобщение: решить в рациональных числах уравнение a+b+c = abc. Нет?

[falcao]

Такая постановка тоже естественна, но тут решений, скорее всего, много. А исходную задачу я встретил сначала в неверной формулировке: там предлагалось доказать, что кроме 1, 2, 3 в положительных рациональных ничего нет.

Я утомлен высшим образованием

[xgrbml]

Шаблонное решение вижу, красивое после этого уже не придумается.

Подождем других.

[falcao]

А что, "шаблонно" оно может исчерпывающе решаться? Я знаю, как там эллиптическая кривая возникает, но что с ней дальше делать -- не знаю.

[xgrbml]

Если я не проврался, то она не эллиптическая, а рациональная, со всеми вытекающими.

[xgrbml]

А, проврался таки. Тогда шаблонно не выйдет!

[psilogic]

вопрос не в тему

вот есть равномерное (вероятностное) распределение, у которого функция распределения - прямая горизонтальная линия

а если по горизонтали мы делаем логарифмическую шкалу, тогда какое распределение даст прямую горизонтальную линию? имеется в виду распределение, в котором между 10 и 100 попадает примерно столько же, сколько между 100 и 1000, а также 1000 и 10,000 - наверняка же есть такое распределение, как оно называется?

[falcao]

Здесь надо кое-что уточнить. Равномерное распределение бывает на отрезке. В Вашем примере должно быть какое-то ограничение сверху, а то получится, что там бесконечное число случаев возникает.

[psilogic]

Да, разумеется, на отрезке, соответствующем каким-то предметным наблюдениям.

[falcao]

Тогда это будет случайная величина типа 10^X, где X равномерно распределена на отрезке. Для неё и функция распределения, и плотность даются явными формулами. Даже если кто-то где-то такое распределение как-то назвал, это не имеет значения, потому что тут всё в полном виде дано, и любые характеристики легко посчитать.

[relf]

Задача сводится к поиску рациональных точек на кривой a*b*(6-a-b) - 6 = 0.
Заменой u = 3*(a-2)/a, v = -3*(2*b+a-6)/a, она приводится к форме Вейерштрасса: v^2 = u^3 - 9*u + 9. Её ранг 1 с генератором (u,v) = (-3,3), а также есть две точки кручения (3,3) и (3,-3).
Отсюда все рациональные точки (коих бесконечно много) получаются по известным формулам. Несколько первых для примера:
[u,v] ~ [a,b,c]
-------------------
[-3, 3] ~ [1, 2, 3]
[15, -57] ~ [-1/2, -3/2, 8]
[-8/9, 109/27] ~ [54/35, 25/21, 49/15]
[1491/361, -44601/6859] ~ [-361/68, -32/323, 867/76]
[13209/20449, 5436183/2924207] ~ [20449/8023, 15123/16159, 25538/10153]
...

[falcao]

Спасибо за полный ответ. Хотел лишь уточнить вопрос по поводу ранга: как доказать, что он здесь равен 1? Это можно получить на основании элементарных соображений?

[relf]

У меня не было никаких соображений, я банально этот ранг вычислил, используя готовую фукцию.

[falcao]

А что за функция имеется в виду? И сам этот результат считается "абсолютным", или только по модулю каких-то гипотез?

Я об этих вещах знаком в лучшем случае понаслышке, хотя это всё весьма интересно.

[palmas1]

Вроде можно, пример: a=25/21, b=54/35, c=49/15

[falcao]

Да, верно. Такой пример и был изначально найден. Оказывается, при этом есть и другие!

[palmas1]

Подозреваю, что там большие числители и знаменатели и методом тыка их искать очень долго.

[falcao]

Да, конечно. Перебором я сам нашёл несколько решений с отрицательными значениями, и ещё одно с положительными. Но дальше уже всё сильно растёт. Тут с помощью общей теории, фактически, решили. Я через время раскрою комментарии.