Таблица интервалов пифагорова строя (а просто так!)
Вот, по наводке и просьбе уважаемого olorulusа, я начал математичненько и программистичненько (спасибо T-SQL 2005 с поддержкой XML!) составлять некую большую сводную таблицу музыкальных интервалов в разных строях. По задумке, это должна быть существенно расширенная версия известной таблицы Римана (см. её немного сокращенный вариант тут: http://www.kholopov.ru/harmony/harm-app3.pdf ), снабженная, в частности, такой исторически обоснованной экзотикой как "атом Кирнбергера", "град Веркмейстера" или "минута Фарея" в качестве особо мелких интервалов :-).
Ниже привожу фрагмент предполагаемой таблицы, изображающий интервалы чисто-квинтового (сиесть пифагорова) строя, ограниченного - по понятным причинам - 19-м квинтовым шагом. Диатонические интервалы изображены синим, хроматические - зеленым, дихроматические - черным цветами. Колонки Q и O обозначают соответственно количество потребных (чисто-)квинтовых и октавных шагов для получения данного интервала. Например, если Q=-10, O=6 (для ум. терции), то соотв. интервал получится 10-ю квинтовыми шагами вниз и 6-ю октавными - вверх. На самом деле, как легко видеть, для интервалов, меньших октавы, показатель O однозначно зависит от показателя Q: именно, для данного Q число O может быть вычислено как взятая с противоположным знаком целая часть выражения
$)
Для получения же отношения интервала (т.е. отношения частот верхнего звука к нижнему) по заданным величинам Q и O можно воспользоваться очевидной формулой:
^{\mathrm{Q}}\times2^{\mathrm{O}}=2^{\mathrm%20O-\mathrm%20Q}\times3^{\mathrm%20Q}$)
Для особо любознательных напомню также, что цент - это 1/1200-я часть октавы (цент был изобретен замечательным английскийм филологом-фонетиком Александером Эллисом, послужившим, между прочим, прототипом проф. Хиггинса в пьесе Б. Шоу "Пигмалион"). Соответственно, равномерно-темперированный полутон есть 1/12-я часть октавы, т.е. ровно 100 центов, а величина в центах музыкального интервала с отношением частот r верхнего и нижнего звуков равна
Итак, вот таблица интервалов пифагорова строя, вплоть до 19-го квинтового шага включительно (напомню, что в пифагоровом строе никаких "энгармонизмов" нет, поэтому в нём, например, ув. прима и м. секунда - действительно акустически разные интервалы):
Название
Q
O
Отношение
Величина в центах
унисон, прима001:10,00пифагорова комма (ув. септима без октавы)12-7531441:52428823,46дважды ум. терция-1710134217728:12914016366,76лимма, меньший (диатонический) полутон, м. секунда-53256:24390,22апотома, больший (хроматический) полутон, ув. прима7-42187:2048113,69ум. терция-10665536:59049180,45целый тон, б. секунда2-19:8203,91дважды ув. прима14-84782969:4194304227,37дважды ум. кварта-15916777216:14348907270,67семидитон, м. терция-3232:27294,13ув. секунда9-519683:16384317,60ум. кварта-858192:6561384,36дитон, б. терция4-281:64407,82дважды ув. секунда16-943046721:33554432431,28дважды ум. квинта-1382097152:1594323474,58кварта-114:3498,04ув. терция11-6177147:131072521,51дважды ум. секста-1811536870912:387420489564,81ум. квинта (комматический тритон)-641024:729588,27тритон, ув. кварта6-3729:512611,73дважды ув. терция18-10387420489:268435456635,19ум. секста-117262144:177147678,49квинта103:2701,96дважды ув. кварта13-71594323:1048576725,42дважды ум. септима-161067108864:43046721768,72м. секста-43128:81792,18ув. квинта (тетратон)8-46561:4096815,64ум. септима-9632768:19683882,40б. секста3-127:16905,87дважды ув. квинта15-814348907:8388608929,33дважды ум. октава-1498388608:4782969972,63м. септима-2216:9996,09ув. секста (пентатон)10-559049:327681019,55ум. октава-754096:21871086,31б. септима5-2243:1281109,78дважды ув. секста17-9129140163:671088641133,24ум. нона-1281048576:5314411176,54октава012:11200,00
Ниже привожу фрагмент предполагаемой таблицы, изображающий интервалы чисто-квинтового (сиесть пифагорова) строя, ограниченного - по понятным причинам - 19-м квинтовым шагом. Диатонические интервалы изображены синим, хроматические - зеленым, дихроматические - черным цветами. Колонки Q и O обозначают соответственно количество потребных (чисто-)квинтовых и октавных шагов для получения данного интервала. Например, если Q=-10, O=6 (для ум. терции), то соотв. интервал получится 10-ю квинтовыми шагами вниз и 6-ю октавными - вверх. На самом деле, как легко видеть, для интервалов, меньших октавы, показатель O однозначно зависит от показателя Q: именно, для данного Q число O может быть вычислено как взятая с противоположным знаком целая часть выражения
Для получения же отношения интервала (т.е. отношения частот верхнего звука к нижнему) по заданным величинам Q и O можно воспользоваться очевидной формулой:
Для особо любознательных напомню также, что цент - это 1/1200-я часть октавы (цент был изобретен замечательным английскийм филологом-фонетиком Александером Эллисом, послужившим, между прочим, прототипом проф. Хиггинса в пьесе Б. Шоу "Пигмалион"). Соответственно, равномерно-темперированный полутон есть 1/12-я часть октавы, т.е. ровно 100 центов, а величина в центах музыкального интервала с отношением частот r верхнего и нижнего звуков равна
Итак, вот таблица интервалов пифагорова строя, вплоть до 19-го квинтового шага включительно (напомню, что в пифагоровом строе никаких "энгармонизмов" нет, поэтому в нём, например, ув. прима и м. секунда - действительно акустически разные интервалы):
Название
Q
O
Отношение
Величина в центах
унисон, прима001:10,00пифагорова комма (ув. септима без октавы)12-7531441:52428823,46дважды ум. терция-1710134217728:12914016366,76лимма, меньший (диатонический) полутон, м. секунда-53256:24390,22апотома, больший (хроматический) полутон, ув. прима7-42187:2048113,69ум. терция-10665536:59049180,45целый тон, б. секунда2-19:8203,91дважды ув. прима14-84782969:4194304227,37дважды ум. кварта-15916777216:14348907270,67семидитон, м. терция-3232:27294,13ув. секунда9-519683:16384317,60ум. кварта-858192:6561384,36дитон, б. терция4-281:64407,82дважды ув. секунда16-943046721:33554432431,28дважды ум. квинта-1382097152:1594323474,58кварта-114:3498,04ув. терция11-6177147:131072521,51дважды ум. секста-1811536870912:387420489564,81ум. квинта (комматический тритон)-641024:729588,27тритон, ув. кварта6-3729:512611,73дважды ув. терция18-10387420489:268435456635,19ум. секста-117262144:177147678,49квинта103:2701,96дважды ув. кварта13-71594323:1048576725,42дважды ум. септима-161067108864:43046721768,72м. секста-43128:81792,18ув. квинта (тетратон)8-46561:4096815,64ум. септима-9632768:19683882,40б. секста3-127:16905,87дважды ув. квинта15-814348907:8388608929,33дважды ум. октава-1498388608:4782969972,63м. септима-2216:9996,09ув. секста (пентатон)10-559049:327681019,55ум. октава-754096:21871086,31б. септима5-2243:1281109,78дважды ув. секста17-9129140163:671088641133,24ум. нона-1281048576:5314411176,54октава012:11200,00