(no subject)
Корень квадратный из единицы - это элемент не скажу какого пространства, который при умножении на себя дает в результате единицу. В натуральных числах такой только один, это сама единица и есть. Уже в целых появляется второй корень, минус единица. корней может быть и больше. Скажем, в группе вращений трехмерной сферы поворот на 180° вокруг любой оси два раза подряд возвращает ее в то же положение, то есть это корень из единичного, тождественного преобразования.
в функциональных пространствах вообще караул. скажем, корень из единичной функции y=х - это такая функция g(х), что g(g(х)) ≡ x. Я знаю по меньшей мере одно семейство корней, g(x)=a-x, где a - произвольная константа. А есть ли ещё? не сомневаюсь.
или, скажем, интегральные преобразования. преобразование Фурье, при определённой нормировке, равно своему обратному, то есть выполнив его два раза подряд, получим исходную функцию. а ещё? есть ли ещё интегральные преобразования - корни второй степени из тождества? а корни высших порядков?
интересно, есть ли классификация всех корней единицы для упомянутых пространств?
и, чтоб два раза не вставать. есть расхожее мнение, что "спектр гаусса есть гаусс". это, вообще говоря, неверно. только спектр несмещенного гаусса есть гаусс. а спектр смещенного - это гаусс, умноженный на комплексную экспоненту. и наоборот, спектр гауссовского импульса с некоторой несущей частотой есть два гаусса, симметричных относительно нулевой частоты, чтоб эрмитовость обеспечить.
таким образом, только несмещенный гаусс есть собственная функция преобразования фурье. интересно, а описаны ли все собственные функции преобразования Фурье?
в функциональных пространствах вообще караул. скажем, корень из единичной функции y=х - это такая функция g(х), что g(g(х)) ≡ x. Я знаю по меньшей мере одно семейство корней, g(x)=a-x, где a - произвольная константа. А есть ли ещё? не сомневаюсь.
или, скажем, интегральные преобразования. преобразование Фурье, при определённой нормировке, равно своему обратному, то есть выполнив его два раза подряд, получим исходную функцию. а ещё? есть ли ещё интегральные преобразования - корни второй степени из тождества? а корни высших порядков?
интересно, есть ли классификация всех корней единицы для упомянутых пространств?
и, чтоб два раза не вставать. есть расхожее мнение, что "спектр гаусса есть гаусс". это, вообще говоря, неверно. только спектр несмещенного гаусса есть гаусс. а спектр смещенного - это гаусс, умноженный на комплексную экспоненту. и наоборот, спектр гауссовского импульса с некоторой несущей частотой есть два гаусса, симметричных относительно нулевой частоты, чтоб эрмитовость обеспечить.
таким образом, только несмещенный гаусс есть собственная функция преобразования фурье. интересно, а описаны ли все собственные функции преобразования Фурье?