Выбирая девушку…

[zhu_s]

Закончилась нобелевская неделя, и это значит, что сегодня - в понедельник, 14-го, в 15-00 по Москве ЦБ Швеции в 45-й раз объявит «примкнувших к ней» призеров своей премии, учрежденной в 1968 по случаю 300-летия этого, одного из старейших в Европе банка, по экономике. Или, как судачат злые языки - по математике, закамуфлированной под economics, дабы сохранить уважение к памяти об А.Нобеле, вроде бы по причинам личного характера не жаловавшем математиков.

Возможно, на сей раз назовут единственного призера. Такое до сих пор было ровно в половине случаев, последний раз давно - в кризисном 2008. Тогда им стал П.Кругман, сегодня более известный как пишущий на экономические темы блоггер, по-видимому, наиболее цитируемый в мире. В остальных 22 случаях сумма, кажется, в 10 млн. шведских крон (не помню, как там обстоит дело с поправкой на инфляцию) делилась каждый раз в среднем между 2.23 лауреатами.

Год назад я в силу служебной надобности, хоть уже и мало чего понимая и помня из economics и тем более - из теории игр, стал писать заметки о премированной работе, относящейся как раз к этой области. И, как обычно, закопался и заленился, да еще и затемпературил, не сдал их вовремя в редакцию и в итоге забросил. Но благодаря разросшейся емкости жестких дисков, рукописный мусор сегодня и правда «не горит», т.е. не стирается, чтобы освободить место следующему. Посему данный, забытый за ненадобностью, неструктурированный поток - не столько сознания, сколько выписок из разных мест - сохранился.

Выкладываю его сюда без какого-либо причесывания, as is, сам уж не знаю зачем, просто из-за крестьянской привычки пристраивать любое говно «к делу». Ну может быть, чтобы просто напомнить, в преддверии очередного объявления, сколь далеки от общепонятных утилитарных соображений бывают вещи, за которые дают эту премию.

Просмотрев эти выписки, вижу, что они в основном даже и не по теме. Должны они были быть о прошлогодних призерах Элвине Роте и Ллойде Шепли и отмеченных премией их работах о «рынках спаривания (matching)», т.е. о механизмах взаимного подбора друг другом работодателями и работниками, или потенциальными партнерами для секса/брака, распределения мест для детей в государственных школах, или человеческих органов для пациентов, которые нуждаются в трансплантатах, и в прочих похожих ситуациях, где классические инструменты цен и денежных трансфертов либо совсем не работают, а если и работают, то ситуация все равно далека от совершенной конкуренции из-за неоднородности и неделимости «товаров». Хотя и об этом там есть, но лишь где-то за серединой, куда никто и не дочитается.

Значительная же часть выписанного почему-то оказалась о младшем коллеге Шепли по Принстону Джоне Нэше (НЛ-2007 Шепли был даже соавтором части в общем-то единственной написанной Нэшем за его жизнь научной статьи [1], рассчитавшим вместе с ним в виде иллюстрации равновесие в игре в покер с 3-мя участниками), получившем аналогичную премию за 18 лет до этого - в 1994, вместе с Джоном Харсанйи и Райнхардом Сетленом. Тогда это была первая из 4 на сегодня премий памяти А.Нобеля за развитие теории игр, считая с премией 2007 года за конструирование (design) механизмов рынка, которое тоже можно рассматривать как ветку теории (бескоалиционных) игр.

Возможно, причина - в необычной личности и судьбе Нэша. Правда, для математика приличного уровня «альтернативная одаренность» - скорее норма. В качестве иллюстрации можно, например, почитать труды по истории математического акад. Фоменко, а еще лучше послушать его «живьем» на youtube, дабы отпали последние сомнения в медицинских истоках его неординарных теорий.

Несмотря на большой срок с момента присуждения премии, Нэш - все еще номер 1 в рейтинге популярности нобелевских лауреатов по экономике. Этим, вероятно, он в значительной мере обязан бестселлеру Сильвии Назар [2], как раз читанному мною (из-за неважного знания английского - местами) накануне попытки писать статью о премии 2012. Ну и, конечно, снятому по мотивам данного произведения байопику «А beautiful mind» (2001, в русском прокате «Игры разума»), пожалуй, уникальному случаю биографического фильма о математике из категории must see, обязанному своим названием как раз фразе Шепли о Нэше, приведенной в начале книжки Сильвии.

«Он был неразвитый, он был противный, и он был ребенок.
Но все это - херня против его ясного, логичного, красивого ума».
Л.Шепли, НЛ-2007, о Дж.Нэше, НЛ-1994Девушки, в которых играют математики

1. В одной из ключевых сцен этого замечательного во всех отношениях фильма, а именно - в сцене в баре, Рассел Кроу (т.е. играемый им Дж.Ф.Нэш-джуниор), по-видимому, объясняет коллегам-математикам, правда, почему-то подобно Е.Онегину, рассуждающим при этом об Адаме Смите, имплементацию равновесия своего имени в некооперативной игре на примере выбора девушек. Если это так, то тут, на первый взгляд, имеется небольшой киноляп. Напомню, о чем идет речь.

Каждый из 4-х парней должен выбрать себе на вечер подругу из 5 девушек, одна из которых - блондинка, а остальные 4 - всего лишь брюнетки. Каждый предпочел бы яркую блондинку, но если ее выберут сразу 2-ое, то она растеряется (заважничает?) и в итоге не достанется никому. Более того, ни один из этих 2-х (или более) выбравших блондинку уже не получит даже и обиженную таким пренебрежением брюнетку и останется вообще ни с чем.

Итоговое стабильное распределение, которое прогнозирует герой Рассела Кроу, прикидывая ход рассуждений каждого из парней - все скромно довольствуются брюнетками, а красавица блондинка остается невостребованной. Ляп в том, что на самом деле оно не является Нэш-равновесием, т.е. лучшим ответом каждого участника на выбор остальных. (Правда, в жизни чаще всего случается именно так - мужчины предпочитают золушек, а красавицам часто достается роль женщин трудной судьбы.) Тем не менее решением по Нэшу в данной бескоалиционной игре, т.е. таким выбором, который в индивидуальном порядке не может улучшить ни один из участников, является как раз выбор блондинки кем-нибудь одним, и брюнеток 3-мя остальными.

Просмотрев этот эпизод, я припомнил, что раньше читал что-то об этом у ksonin. Правда, из его записи, не видев фильма, сложно однозначно заключить, что он имел в виду. Но, в любом случае, если бы он это не записал, то и я, наверное, не обратил бы внимания. Правда, покопавшись в интернете, я нашел еще одну запись, где разбирается теория сцены в баре.

Думаю, что авторы сценария все прекрасно понимали. Не говоря уже об их математическом консультанте Гарольде Куне (первой половинке названия теоремы Куна-Таккера об условиях экстремума выпуклых функций, вторая еще появится у нас чуть ниже и именно в связи с данной задачей). Ведь, кажется, именно он инициировал в свое время выдвижение Нэша на Нобелевскую премию. Но у шоу-бизнеса свои законы, и сцену написали именно так - в максимально эффектном виде, т.е. руководствуясь примерно теми же соображениями, как в свое время братья Васильевы, посадившие пешую чапаевскую ватагу на коней.

Ясно, что сцена в первом приближении удовлетворит не перегруженного деталями зрителя. Но и во втором она все же становится вполне корректной, если немного переопределить функции полезности игроков, и считать, что парни достаточно ревнивы и цель каждого - быть не хуже соперника. Т.е. перед нами люди светлого социалистического будущего, в котором следить, чтобы сосед не «откусил» от общего пирога слишком много, для каждого станет не менее важно размера собственной пайки.

Выбор также можно переформулировать в терминах военного конфликта 2-х ядерных держав. Пусть в качестве брюнетки фигурирует использование обычного оружия, а блондинки - ядерного. Тогда при определенных оценках возможного ущерба и преимуществ (функции полезности), возможно, что обе стороны добровольно откажутся от применения ядерного оружия без всяких предварительных мораториев. Модель такого поведения и поясняет экранный Нэш.

2. Попробую на примере этой сцены напомнить базовые понятия и определения теории игр (в той мере, в какой я сам их помню - последний раз доводилось что-то писать на эту тему в дипломной работе, без малого 4 десятка лет тому назад). Сведем число парней к 2, а девушек к 3 - блондинка и 2 брюнетки. Ясно, что остальные 2 пары несущественны и присутствуют в сцене просто в качестве массовки. Пусть выигрыши (функция полезности) парня, пусть для простоты им буду я, в зависимости от его выбора и выбора друга описываются матрицей

Друг-Блондинку
Друг-Брюнетку

Я-Блондинку
-2
2

Я-Брюнетку
1
-1.5

Конкретные значения могут быть другими, но знаки и соотношения величин примерно отражают описываемую ситуацию. Т.е. я буду сильно разочарован, если мы с другом одновременно выберем блондинку и в итоге останемся ни с чем, и наоборот - очень доволен, если при моем выборе блондинки друг согласится довольствоваться брюнеткой. Наконец, выбрав себе брюнетку, я буду сравнительно удовлетворен, если блондинка уйдет к другу, и довольно чувствительно расстроен, если в результате наших решений «довольствоваться малым» блондинка останется не у дел.

У друга, если придерживаться условий сцены в баре, такая же матрица выигрышей (хотя могла бы быть и другая, в игре с ненулевой суммой такая симметрия не обязательна). Но для начала рассмотрим ситуацию, когда друга не интересует девушка, как таковая (во всяком случае, ему безразлична ее масть), а его задача просто сломать кайф товарищу - т.е. мне, причем в максимальной степени. Тогда его матрица выигрышей будет противоположной по знаку, и мы имеем простейшую ситуацию - игру 2-х лиц с нулевой суммой (a.k.a. «антагонистические» игры).

В последнем случае - когда другу тем лучше, чем хуже мне - всегда можно определить поведение (выбор блондинки или брюнетки с определенной вероятностью, или на языке теории игр, «смешанные» стратегии), ведущее обоих игроков к гарантированному результату, причем любое отклонение от данной стратегии может быть «наказано» партнером. Это наиболее известный результат теории игр (теорема о минимаксе), без которого, как сказал «отец» этой теории, Джон фон Нейман, никакой теории просто не было бы. Решение легко проиллюстрировать графически.



Моей оптимальной смешанной стратегией будет комбинация, лежащая на пересечении синего отрезка («многогранника моих выигрышей») с диагональю (у=х). Конкретно, при данных цифрах функции полезности, это будет выбор блондинки с вероятностью примерно 0.38 и брюнетки с вероятностью 0.62. В этом случае против любого решения друга я получаю один и тот же ожидаемый выигрыш (приблизительно -0.15), и это наилучшее мат ожидание результата, которое я могу себе гарантировать.

А перпендикуляр к («опорной») прямой, оставляющей мой «многогранник выигрышей» с одной стороны от себя, определяет соответствующие вероятности в оптимальной стратегии для друга (красная точка на единичном симплексе). Это означает, что никаким выбором я не смогу ухудшить мат ожидание его выигрыша (естественно, оно - 0.15, только с плюсом). В данном случае эта стратегия - выбор блондинки с вероятностью примерно 0.54 и брюнетки с вероятностью 0.46.

Данная графическая интерпретация легко обобщается на случай более чем 2 «чистых стратегий» у партнеров (решение будет определять «опорная гиперплоскость» к «многограннику выигрышей», проведенная в точке его пересечения с многомерной диагональю х1=х2=…=xn). В случае, когда такого пересечения нет, найдется оптимальное решение в «чистых» стратегиях, т.е. фиксированный выбор без использования вероятностей.

3. Принципиальное отличие подхода Нэша, позволяющего распространить его на игры с ненулевой суммой и любым числом участников в том, что он имеет дело не с выбором оптимальной стратегии отдельным игроком, а с набором стратегий сразу всех игроков. Аналогом пары оптимальных стратегий в игре 2-х лиц с нулевой суммой становится равновесие, которое не может улучшить для себя индивидуальными усилиями ни один из участников.

Легко видеть разницу, между оптимальными стратегиями и стратегиями, образующими равновесие. Первые оптимальны против любой стратегии противников, вторые - только против стратегий, образующих вместе с ней равновесие. Однако для игры с нулевой суммой эти вещи означают одно и то же.

Сама идея, что в более сложной ситуации, чем игра 2-х лиц с нулевой суммой, надо рассматривать не стратегии отдельных участников, а равновесие, какой бы очевидной она не казалась сейчас (задним числом любое «колубмово яйцо» кажется вполне очевидным) все же представляла собой определенный прорыв. Основоположники теории игр, Нейман и Моргенштерн [3] развивали иной подход, сводя такие ситуации - через образование коалиций - все к той же игре 2-х лиц с нулевой суммой, где для каждого участника найдется не зависящая от действий других игроков оптимальная стратегия.

При этом равновесие по Нэшу не конструирует в каком-либо смысле оптимальную модель поведения игрока и не дает никаких рекомендаций о стратегии (в отличие от опять-таки сцены в баре, воспроизведенной в фильме), а просто фиксирует некое конечное состояние, которое никто не может улучшить, не вступая в кооперацию с другими игроками. Если в случае игры 2-х с нулевой суммой игроки достаточно мотивированы, чтобы придерживаться именно стратегий образующих равновесие, а отход одного из противников от нее только увеличит выигрыш другого, то в более общем случае это не так, что хорошо видно на примере выбора девушек.

В случае сцены в баре такое равновесие, которое нельзя улучшить в одностороннем порядке отклонившись от него - это когда у одного блондинка, а у остальных брюнетки. Поэтому можно предположить, что экранный образ Нэша, рекламирующий устойчивость равенства в нищете, ведет себя, как типичный лидер массовых движений, т.е. просто устраняя своей демагогией конкурентов и убеждая толпу как бы временно довольствоваться скромным результатом, с тем чтобы лучшее (блондинку) приберечь для себя.

Разумеется, ситуация, при которой мне досталась блондинка, а остальным брюнетки, хоть и равновесна, но несправедлива и несимметрична. Однако, если среди друзей найдется «пассионарий», который попытается улучшить свой выбор, то он ухудшит не только мое положение, но и свое. Перед нами еще одна модель массового движения, на этот раз «русского, бессмысленного и беспощадного».

Адам Смит устарел?

1.  Имеют ли все эти игры в баре хоть какое-то отношение к экономике? Экранный Нэш специально подчеркивает это, заявляя, что с появлением теории игр Адам Смит устарел. Так ли это? Другими словами, является ли Нэш-равновесие, когда не один участник не может улучить свой результат индивидуальными действиями, обобщением или формализацией принципа «невидимой руки рынка» - гипотезы, что действуя в своих интересах, не только каждый участник рынка (трейдер) получает желаемое, но и группа в целом - в некотором смысле оптимальный результат?

Этой ситуации точнее всего отвечает конкурентное равновесие - чистые продажи набора товаров, желательные при данной системе цен для каждого трейдера, уравновешиваются некоторой системой цен таким образом, что происходит очистка всех рынков, при этом соблюдается платежный баланс для каждого участника. В простейшем случае 2 трейдеров, обменивающихся 2 товарами, процесс обмена и движения к конкурентному равновесию довольно наглядно описывается диаграммой (или «чемоданом») Эджворта и «кривой контрактов» на ней.

Можно ли сопоставить поиску рыночного равновесия некоторую игру? В принципе - это не проблема, например, игра может состоять в том, что каждый объявляет о желаемых чистых продажах, если объявления оказываются конкурентным равновесием, каждый продает и покупает объявленные количества товаров, в противном случае, никто не может торговать. Равновесия Нэша в такой игре и конкурентные равновесия пересекаются (отсутствие торговли также является равновесием Нэша).

Если игра должна быть определена независимо от предпочтений, то она может состоять в том, что каждый объявляет о своей функции полезности. Затем некий «Госплан» рассчитывает конкурентное равновесия по отношению к объявлениям и назначает соответствующее распределение товаров между трейдерами. У каждого есть выбор, говорить правду о своих предпочтениях, или попытаться получить больше, солгав. Стратегия «говорить правду» является равновесием по Нэшу, хотя она и не охватывает в данном случае все множество конкурентных равновесий. Поиск условий, при которых конкурентному равновесию можно сопоставить игру (торговый механизм), с точно таким же множеством Нэш-равновесий - отдельная ветка исследований, см. напр. [4-6]

Но все же во многих случаях множество Нэш-равновесий оказывается слишком широким, чтобы отражать реальные или предпочтительные экономические ситуации. Иногда это равновесие -  скорее ловушка, показывающая как ни одна из сторон индивидуальными действиями не в состоянии изменить нежелательную для всех ситуацию. Возможно, лучшей иллюстраций могут служить взаимоотношения партии и народа в позднем СССР, когда и те, и другие хотели перемен, но в итоге народ молчал, а партия повторяла давно навязшие в зубах, протухшие мантры. Также часто в качестве примеров таких патологических равновесий ссылаются на дилемму заключенного, предложенную, как говорят, научным руководителем Нэша (в США говорят - советником) Ал. Таккером, а также на трагедию общин.

2. С математической точки зрения результат Нэша не такой новаторский, учитывая, что он повторяет технику, примененную Дж.фон Нейманом к доказательству существования оптимальных стратегий в игре 2-х лиц с нулевой суммой, а именно - использование теоремы о неподвижной точке [7](позже для таких игр использовались значительно более элементарные приемы, ссылающиеся на теорему об опорной гиперплоскости). Сам Нейман посчитал работу Нэша тривиальной.

Тем не менее, конечно, нельзя сказать, что введенное Нэшем определение равновесия оказалось неконструктивным, о чем говорят хотя бы 3 нобелевские премии, выданные за развитие теории таких игр, считая премией за дизайн механизмов. Кроме того, между бескоалиционными играми по Нэшу и охватывающими более широкие классы реальных ситуаций кооперативными играми нет такой уж четкой грани, поскольку последние могут быть описаны в виде бескоалиционных, в правила которых включается также переговорный процесс. Это так называемая «программа Нэша», сформулированная им в 2-х абзацах в заключительной части статьи [1].

3. Сильвия Назар выпустила пару лет назад еще книжку [8], посвященную экономистам - на сей раз не математикам, чьи результаты при известной фантазии оказываются приложимыми к экономике, а просто экономистам. Рецензии оказались на сей раз менее восторженными, см., например, отзыв еще одного НЛЭ, 1987, Р.Солоу, поскольку речь идет в основном о деталях биографий, главным образом, пикантных, оставляя в стороне суть работ. Хотя и там много любопытного. Мы узнаем, например, что Маркс был ленив, склонен к прокрастинации и, возможно, имел внебрачного сына от гувернантки, Шумпетер, подобно Чехову, всем прочим женщинам предпочитал проституток, и крайне неудачно засветился в качестве министра финансов в социалистическом правительстве Австрии, а человек, сделавший доллар «резервной» валютой (Г.Д.Уайт), был советским агентом влияния.

И все же жизнеописания этих экономических героев оказались не столь ярки, как биография Дж. Нэша - малообщительного вундеркинда и почти аутиста, сраженного на взлете научной карьеры манией преследования (параноидальной шизофренией - своего рода «раком ума») и все же несмотря на это, получившего Нобелевскую премию за юношескую, по сути, дипломную работу объемом в 27 машинописных страниц. Правда, финальная сцена фильма Игры разума, где Нэш произносит лекцию - фантазия создателей фильма* (вообще речь главного героя, обращенная к восторженному потомству - неискоренимая советская черта американского кинематографа). В жизни же, опасаясь за состояние лауреата, организаторы нобелевской церемонии устроили для него специальный семинар, где выступили с сообщениями его (коллеги), в т.ч. со-лауреаты Дж.Харасанйи и Р.Сэлтон.

* Фантазией авторов является также и работа героя фильма на спецслужбы по расшифровке сообщений советских шпионов, переросшая в то, что все газетные статьи он стал воспринимать как такие зашифрованные сообщения. (У реального Нэша вроде бы не было зрительных галлюцинаций, он просто общался с инопланетянами, подобно Жанне д’Арк слыша их голоса, что для многих россиян, если верить телевизору, вообще является частью повседневной жизни). Здесь, по-видимому, использованы черты биографии другого гениального математика, Алана Тьюринга, работа которого во время войны сильно способствовала взлому кода «Энигмы». Судьба его оказалась, пожалуй, не менее непростой, чем судьба Нэша - будучи приговоренным к химической кастрации за нетрадиционные связи, он вроде бы съел (надкусил) отравленное яблоко. После этот надкушенный фрукт перекочевал на шильдики «макинтошей» и затем «айфонов», правда, к моменту появления последних уже утратив раскраску в радужные цвета ЛГБТ.

P.S. Увы, заметка, задуманная к введение на 2-3 абзаца к статье о прошлогодних призерах, разрослась, и на них самих уже не осталось ни места, ни времени, чтобы как-то вникнуть и причесать делавшиеся год назад предварительные наброски. Через пару часов узнаем новых лауреатов. Ну а прошлогодние - еще немного потерпят, подождут.

Ссылки:

1. Дж.Нэш, 1951. Бескоалиционные игры. В сб. «Матричные игры». М., Физматлит, 1961. c.205-221 (.djvu)
2. Nasar, Sylvia, 1998. A beautiful mind: a biography of John Forbes Nash, Jr., winner of the Nobel Prize in economics, 1994. NY, Simon & Schuster.
3. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М., Наука, 1970.
4. Grossman, Sanford J., 1981. Nash Equilibrium and the Industrial Organization of Markets with Large Fixed Costs. (.pdf)
5. David K. Levine, 1987. Nash equilibria equal competitive equilibria (.pdf)
6. Sabourian, Hamid, 1999. Competitive Equilibrium and Noncooperative Game Theory: Noise and Bounded Rationality (.pdf)
7. John Geanakoplos, 2002. Nash and Walras equilibrium via Brouwer (.pdf)
8. Nasar, Sylvia, 2011. Grand pursuit: the story of economic genius. NY, Simon & Schuster.

Click to view