Немного вероятности
Задачка с dxdy.ru про число переходов в турнирной таблице 2-х шахматистов с учетом ничьих партий - но что-то свернуть в аккуратную формулу не просто.
http://oeis.org/A005811- кусочек этой последовательности тут появляется
0 -1
1 -1
10 -2
11 -1
100 -2
101 -3
111 -1
1000 -2
1001 -3
1010 -4 и т.д.
И во еще - есть алфавит ABCD c запрещенными фрагментами АС и CA.
Как найти вероятность появления букв в типичном сообщении?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B0%2C0%2C1%2C0%7D*%7B%7B1%2F3%2C1%2F3%2C0%2C1%2F3%7D%2C%7B1%2F4%2C1%2F4%2C1%2F4%2C1%2F4%7D%2C%7B0%2C1%2F3%2C1%2F3%2C1%2F3%7D%2C%7B1%2F4%2C1%2F4%2C1%2F4%2C1%2F4%7D%7D%5E20. - такие матрицы в марковских цепях - оказывается их степень с ростом стремится к стационарной матрице из одинаковых строк.
Т.е. одно собственное число всегда 1 - остальные меньше единицы
eigenvalues{{1/3,1/3,0,1/3},{1/4,1/4,1/4,1/4},{0,1/3,1/3,1/3},{1/4,1/4,1/4,1/4}} - наверное это очевидно? И тогда финальное распределение просто считается
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C-1%2C-4%2F3%2C0%7D%2C%7B1%2C0%2C1%2C-1%7D%2C%7B1%2C1%2C-4%2F3%2C0%7D%2C%7B1%2C0%2C1%2C1%7D%7D*%7B%7B1%2C0%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C0%2C0%7D%7D%7B%7B1%2C-1%2C-4%2F3%2C0%7D%2C%7B1%2C0%2C1%2C-1%7D%2C%7B1%2C1%2C-4%2F3%2C0%7D%2C%7B1%2C0%2C1%2C1%7D%7D%5E%28-1%29
{{1,-1,-4/3,0},{1,0,1,-1},{1,1,-4/3,0},{1,0,1,1}}*{{1,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}{{1,-1,-4/3,0},{1,0,1,-1},{1,1,-4/3,0},{1,0,1,1}}^(-1)
Задача про карточки http://falcao.livejournal.com/280652.html - ниже цитата -
На днях мне попалась одна теоретико-вероятностная задача. Условие звучало так: дано 100 карточек, на которых написаны числа от 1 до 100. Из этих 100 карточек наудачу выбирается какое-то фиксированное количество (например, 10, или какое-то другое). После этого подсчитывается сумма выбранных чисел. Она может быть чётной или нечётной. Возникает вопрос: какой из этих двух случаев более вероятен? Возможностей всего три: вероятности равны 1/2; вероятность получить чётную сумму больше 1/2; вероятность получить нечётную сумму больше 1/2.
Я решил написать по этому поводу открытый пост и устроить в нём опрос. Он состоит из трёх частей. Я рассматриваю случаи, когда карточек извлекается 18, 19 или 20, и в каждом из случаев задаю вопрос о том, какой из трёх возможных ответов является правильным. Отвечающие могут руководствоваться какими угодно соображениями: точными вычислениями, "прикидками", чисто интуитивным ощущением -- чем угодно. Может так оказаться, что ответы во всех случаях будут разными, а может быть и так, что они во всех случаях одинаковы. Через некоторое время я подведу итоги, и станет понятно, кто был ближе к истине.
И ниже расчетные формулы к этой задаче. Есть четные числа вида 2(2k+1) и 4k - вот для них и будет меняться вероятность - в одном случае больше четных в другом больше нечетных сумм. На относительно больших числах с помощью Монте Карло это не поймаешь.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28++++%2850%21+%2F+%28%282k%29%21+%2850-2k%29%21%29%29%2850%21+%2F+%28%2819-2k%29%21+%2850%2B2k-19%29%21%29%29++++%29+++%2F++++%28+100%21++%2F++%2819%21*81%21%29++%29%2C+for+k%3D0..9
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28++++%2850%21+%2F+%28%282k%29%21+%2850-2k%29%21%29%29%2850%21+%2F+%28%2820-2k%29%21+%2850%2B2k-20%29%21%29%29++++%29+++%2F++++%28+100%21++%2F++%2820%21*80%21%29++%29%2C+for+k%3D0..10
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28++++%2850%21+%2F+%28%282k%29%21+%2850-2k%29%21%29%29%2850%21+%2F+%28%2818-2k%29%21+%2850%2B2k-18%29%21%29%29++++%29+++%2F++++%28+100%21++%2F++%2818%21*82%21%29++%29%2C+for+k%3D0..9
http://oeis.org/A005811- кусочек этой последовательности тут появляется
0 -1
1 -1
10 -2
11 -1
100 -2
101 -3
111 -1
1000 -2
1001 -3
1010 -4 и т.д.
И во еще - есть алфавит ABCD c запрещенными фрагментами АС и CA.
Как найти вероятность появления букв в типичном сообщении?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B0%2C0%2C1%2C0%7D*%7B%7B1%2F3%2C1%2F3%2C0%2C1%2F3%7D%2C%7B1%2F4%2C1%2F4%2C1%2F4%2C1%2F4%7D%2C%7B0%2C1%2F3%2C1%2F3%2C1%2F3%7D%2C%7B1%2F4%2C1%2F4%2C1%2F4%2C1%2F4%7D%7D%5E20. - такие матрицы в марковских цепях - оказывается их степень с ростом стремится к стационарной матрице из одинаковых строк.
Т.е. одно собственное число всегда 1 - остальные меньше единицы
eigenvalues{{1/3,1/3,0,1/3},{1/4,1/4,1/4,1/4},{0,1/3,1/3,1/3},{1/4,1/4,1/4,1/4}} - наверное это очевидно? И тогда финальное распределение просто считается
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C-1%2C-4%2F3%2C0%7D%2C%7B1%2C0%2C1%2C-1%7D%2C%7B1%2C1%2C-4%2F3%2C0%7D%2C%7B1%2C0%2C1%2C1%7D%7D*%7B%7B1%2C0%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C0%2C0%7D%7D%7B%7B1%2C-1%2C-4%2F3%2C0%7D%2C%7B1%2C0%2C1%2C-1%7D%2C%7B1%2C1%2C-4%2F3%2C0%7D%2C%7B1%2C0%2C1%2C1%7D%7D%5E%28-1%29
{{1,-1,-4/3,0},{1,0,1,-1},{1,1,-4/3,0},{1,0,1,1}}*{{1,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}{{1,-1,-4/3,0},{1,0,1,-1},{1,1,-4/3,0},{1,0,1,1}}^(-1)
Задача про карточки http://falcao.livejournal.com/280652.html - ниже цитата -
На днях мне попалась одна теоретико-вероятностная задача. Условие звучало так: дано 100 карточек, на которых написаны числа от 1 до 100. Из этих 100 карточек наудачу выбирается какое-то фиксированное количество (например, 10, или какое-то другое). После этого подсчитывается сумма выбранных чисел. Она может быть чётной или нечётной. Возникает вопрос: какой из этих двух случаев более вероятен? Возможностей всего три: вероятности равны 1/2; вероятность получить чётную сумму больше 1/2; вероятность получить нечётную сумму больше 1/2.
Я решил написать по этому поводу открытый пост и устроить в нём опрос. Он состоит из трёх частей. Я рассматриваю случаи, когда карточек извлекается 18, 19 или 20, и в каждом из случаев задаю вопрос о том, какой из трёх возможных ответов является правильным. Отвечающие могут руководствоваться какими угодно соображениями: точными вычислениями, "прикидками", чисто интуитивным ощущением -- чем угодно. Может так оказаться, что ответы во всех случаях будут разными, а может быть и так, что они во всех случаях одинаковы. Через некоторое время я подведу итоги, и станет понятно, кто был ближе к истине.
И ниже расчетные формулы к этой задаче. Есть четные числа вида 2(2k+1) и 4k - вот для них и будет меняться вероятность - в одном случае больше четных в другом больше нечетных сумм. На относительно больших числах с помощью Монте Карло это не поймаешь.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28++++%2850%21+%2F+%28%282k%29%21+%2850-2k%29%21%29%29%2850%21+%2F+%28%2819-2k%29%21+%2850%2B2k-19%29%21%29%29++++%29+++%2F++++%28+100%21++%2F++%2819%21*81%21%29++%29%2C+for+k%3D0..9
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28++++%2850%21+%2F+%28%282k%29%21+%2850-2k%29%21%29%29%2850%21+%2F+%28%2820-2k%29%21+%2850%2B2k-20%29%21%29%29++++%29+++%2F++++%28+100%21++%2F++%2820%21*80%21%29++%29%2C+for+k%3D0..10
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28++++%2850%21+%2F+%28%282k%29%21+%2850-2k%29%21%29%29%2850%21+%2F+%28%2818-2k%29%21+%2850%2B2k-18%29%21%29%29++++%29+++%2F++++%28+100%21++%2F++%2818%21*82%21%29++%29%2C+for+k%3D0..9