Лекция 2. Геометрические характеристики плоских сечений бруса. Часть 2
Предыдущие лекции:
Лекция 1. Вводная. Часть 1.
Лекция 1. Вводная. Часть 2.
Лекция 2. Геометрические характеристики плоских сечений бруса. Часть 1
7. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей координат
Выражения для моментов инерции произвольного тела в системе координат xOy были записаны в п.4 ч.1 этой лекции. Запишем их в новой системе координат x1O1y1 зная соотношения между координатами при параллельном переносе:
При раскрытии скобок получим знакомые выражения:
Или, через геометрические характеристики в системе координат xOy (для любых осей):
Для центральных осей координат выражения примут вид:
Формулы в таком виде используются при вычислении геометрических характеристик т.к. геометрические характеристики используются относительно центральных осей.8. Моменты инерции простых сечений
Вычислим моменты инерции некоторых простых фигур с помощью интегрирования. Обычно эти формулы берутся в справочнике, но знать как они выводятся полезно если попадаются какие-то нестандартные сечения. Или если лень искать справочник или чтобы поупражняться в выводе формул :)
Пример 4:
Вычислим осевые моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей интегрированием с помощью формул параллельного переноса.
Вычислим момент инеции прямоугольника относительно горизонтальной оси x1:
с помощью формул параллельного переноса вычислим относительно оси x:
Проверка (проделаем то же самое но относительно оси x):
аналогично:
Пример 5:
Вычислим полярный момент инерции для круглого поперечного сечения (это уже не про параллельный перенос, как видно выше это довольно просто, но про определение моментов инерции):
Обратите внимание, что толщина элементарного кольца стремится к нулю, поэтому элементарную площадь мы можем записать в таком виде ("раскатать" кольцо в "полоску"):
9. Зависимость между моментами инерции при повороте осей координат
Это немного сложнее чем параллельный перенос т.к. здесь используются формулы перехода при повороте осей координат (зависимости между координатами центра тяжести элементарной площадки dF для новой и исходной систем координатных осей):
аналогично:
Окончательные формулы:
Если сложить первую и второую формулу, получим, что при повороте осей координат:
эта формула используется для проверки расчетов: сумма осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей постоянна
10. Главные оси и главные моменты инерции
Из формул полученных в предыдущем разделе видно, что если менять постепенно угол поворота осей координат, то и моменты инерции относительно новой системы координат так же будут меняться. Рассмотрим моменты инерции для одного и того же поперечного сечения как функции от угла поворота системы координат и исследуем их на экстремальность:
А в скобках центробежный момент инерции из предпоследней формулы предыдущего раздела.
Очевидно, что эта производная примет экстремальное значение при некотором значении угла, найдем его:
При этом так же очевидно, что при повороте в 90 градусов осевые моменты инерции "поменяются местами", поэтому этих выкладок достаточно.
Преобразуем формулы для осевых моментов инерции с помощью соотношений для тригонометрических функций для экстремальных моментов инерции:
аналогично:
Воспользуемся тригонометрическими соотношениями:
исключим с их помощью угол из последней формулы (для экстремальных моментов инерции) преобразуя два послених слагаемых:
Очевидно, что из этих двух экстремальных моментов инерции максимальным будет момент инерции со знаком "+", а минимальный со знаком "-":
Здесь 1- главная ось относительно которой осевой момент инерции максимальный, 2 - главная ось относительно которой осевой момент инерции минимальный.11. Эквивалентные обозначения главных осей
В различной литературе встречается три варианта обозначения главных осей:
1 и 2 (как в приведенных формулах п.10)
v и u (например, в Сопротивлении материалов Феодосьева В.И.)
max и min
12. Свойство осей симметрии
Рассмотрим произвольную симметричную фигуру. Совместим ось симметрии этой фигуры с вертикальной осью системы координат:
Очевидно, что момент инерции целого сечения относительно вертикальной оси y будет равен сумме моментов инерции относительно этой оси его симметричных "половинок":
но в силу симметрии
следовательно:
продолжение здесь
Лекция 1. Вводная. Часть 1.
Лекция 1. Вводная. Часть 2.
Лекция 2. Геометрические характеристики плоских сечений бруса. Часть 1
7. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей координат
Выражения для моментов инерции произвольного тела в системе координат xOy были записаны в п.4 ч.1 этой лекции. Запишем их в новой системе координат x1O1y1 зная соотношения между координатами при параллельном переносе:
При раскрытии скобок получим знакомые выражения:
Или, через геометрические характеристики в системе координат xOy (для любых осей):
Для центральных осей координат выражения примут вид:
Формулы в таком виде используются при вычислении геометрических характеристик т.к. геометрические характеристики используются относительно центральных осей.8. Моменты инерции простых сечений
Вычислим моменты инерции некоторых простых фигур с помощью интегрирования. Обычно эти формулы берутся в справочнике, но знать как они выводятся полезно если попадаются какие-то нестандартные сечения. Или если лень искать справочник или чтобы поупражняться в выводе формул :)
Пример 4:
Вычислим осевые моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей интегрированием с помощью формул параллельного переноса.
Вычислим момент инеции прямоугольника относительно горизонтальной оси x1:
с помощью формул параллельного переноса вычислим относительно оси x:
Проверка (проделаем то же самое но относительно оси x):
аналогично:
Пример 5:
Вычислим полярный момент инерции для круглого поперечного сечения (это уже не про параллельный перенос, как видно выше это довольно просто, но про определение моментов инерции):
Обратите внимание, что толщина элементарного кольца стремится к нулю, поэтому элементарную площадь мы можем записать в таком виде ("раскатать" кольцо в "полоску"):
9. Зависимость между моментами инерции при повороте осей координат
Это немного сложнее чем параллельный перенос т.к. здесь используются формулы перехода при повороте осей координат (зависимости между координатами центра тяжести элементарной площадки dF для новой и исходной систем координатных осей):
аналогично:
Окончательные формулы:
Если сложить первую и второую формулу, получим, что при повороте осей координат:
эта формула используется для проверки расчетов: сумма осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей постоянна
10. Главные оси и главные моменты инерции
Из формул полученных в предыдущем разделе видно, что если менять постепенно угол поворота осей координат, то и моменты инерции относительно новой системы координат так же будут меняться. Рассмотрим моменты инерции для одного и того же поперечного сечения как функции от угла поворота системы координат и исследуем их на экстремальность:
А в скобках центробежный момент инерции из предпоследней формулы предыдущего раздела.
Очевидно, что эта производная примет экстремальное значение при некотором значении угла, найдем его:
При этом так же очевидно, что при повороте в 90 градусов осевые моменты инерции "поменяются местами", поэтому этих выкладок достаточно.
Преобразуем формулы для осевых моментов инерции с помощью соотношений для тригонометрических функций для экстремальных моментов инерции:
аналогично:
Воспользуемся тригонометрическими соотношениями:
исключим с их помощью угол из последней формулы (для экстремальных моментов инерции) преобразуя два послених слагаемых:
Очевидно, что из этих двух экстремальных моментов инерции максимальным будет момент инерции со знаком "+", а минимальный со знаком "-":
Здесь 1- главная ось относительно которой осевой момент инерции максимальный, 2 - главная ось относительно которой осевой момент инерции минимальный.11. Эквивалентные обозначения главных осей
В различной литературе встречается три варианта обозначения главных осей:
1 и 2 (как в приведенных формулах п.10)
v и u (например, в Сопротивлении материалов Феодосьева В.И.)
max и min
12. Свойство осей симметрии
Рассмотрим произвольную симметричную фигуру. Совместим ось симметрии этой фигуры с вертикальной осью системы координат:
Очевидно, что момент инерции целого сечения относительно вертикальной оси y будет равен сумме моментов инерции относительно этой оси его симметричных "половинок":
но в силу симметрии
следовательно:
продолжение здесь