Лекция 2. Геометрические характеристики плоских сечений бруса. Часть 1
Предыдущие лекции:
Лекция 1. Вводная. Часть 1.
Лекция 1. Вводная. Часть 2.
1. Зачем нужны геометрические характеристики плоских сечений бруса
Как видно из предыдущей лекции, для того, чтобы вычислить среднее напряжение на площадке необходимо знать площадь этой площадки. Этим примером применение геометрических характеристик конечно не ограничивается. В следующих лекциях будут рассматриваться различные виды напряженного состояния: растяжение-сжатие, изгиб, срез, кручение. Для определения напряжений и деформаций в которых нужно знать геометрическин характеристики поперечных сечений, которые будут рассмотрены в этой лекции.
Для дальнейшего изучения данной темы не помешает вспомнить основы интегрального исчисления (раздел высшей математики, которую изучают на младших курсах технических ВУЗов).
Для лучшего усвоения этой темы будет полезно вспомнить раздел интегрального исчисления из курса Высшей математики и особенно кратные интегралы (в этой лекции мы будем использовать двойные интегралы).
2. Площади поперечных сечений
Универсальный способ найти площадь поперечного сечения - с помощью интеграла. На рисунке показано произвольное сечение. Поперечное сечение разбиваем на элементарные прямоугольники и сумма площадей этих элементарных прямоугольников будет приблизительно равна площади сечения. Если размер элементарного прямоугольника стремится к нулю, то получим интеграл с помощью которого можно получить точное значение площади поперечного сечения:
Здесь и далее под интегралом по области (поперечному сечению) естественно имеется в виду двойной интеграл, который в части случаев сводится к обычному определенному интегралу.
Пример 1:
Найдем площадь прямоугольного треугольника:
Самое главное в таких примерах разбить сечение на элементарные площади, записать выражение для этой элементарной площади для подстановки под интеграл и увидеть пределы интегрирования. Это касается не только этого примера, но и следующих в этой лекции.
Разобьем треугольник на элементарные прямоугольники, найдем площадь элементарного прямоугольника и составим интеграл для вычисления площади:
В итоге получили привычную формулу. Аналогично можно вычислить площади других простейших фигур. В приведенном примере для построения интеграла была использована прямоугольная декартова система координат. Иногда удобно то же самое проделать с помощью полярной системе координат, например, для определения площади полукруга.
Сечение может состоять из нескольких простых фигур, выражения для площадей или их значения известны. В этом случае интеграл можно заменить знаком суммы и площадь составной фигуры будет равна сумме площадей элементарных фигур. Очевидно, что если составная фигура имеет отверстия, то площади отверстий войдут в общую сумму со знаком "-".
Площадь сечения всегда положительна, но площадь элементарной фигуры (отверстия) из которых состоит сечение может быть отрицательной.
3. Статические моменты площади. Центр тяжести поперечного сечения
Геометрическая характеристика статический момент площади важна как сама по себе так и в качестве инструмента для определения центра тяжести поперечного сечения. И, если площадь не зависит от положения поперечного сечения (передвинув сечение мы получим тот же результат, единственное, на что это повлияет - удобство составления интеграла), то статический момент площади вычисляется относительно оси координат и зависит от положения сечения относительно этой оси. Это видно из формул для определения статического момента площади. Статическими моментами площади называются интегралы вида (относительно осей x и y соответственно):
Статические моменты площади могут быть положительными, отрицательными, равными нулю.
Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю называются центральными осями.
На рисунке оси координат x и y - произвольные, yC и xC - центральные. Центр тяжести поперечного сечения лежит на центральных осях. Это свойство основано на следствии первой теореме о среднем.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда на отрезке [a;b] найдется такая точка c, что
более подробно об этой теореме, ее доказательстве и следствиях можно прочитать на стр. 226 [1].
[1] Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.: Учебник для университетов и пед. вузов/ Под ред. В.А. Садовничего - М.: Высш. шк. 1999. - 695 с.
Откуда можно найти координаты центра тяжести сечения:
Если сечение состоит из нескольких простых фигур, то координаты центра тяжести сечения находятся как суммы статических моментов площади деленные на площадь сечения:
Пример 2:
Найдем площадь и координаты центра тяжести сечения, состоящего из двух простых фигур двумя способами. Все размеры заданы в сантиметрах.
Способ 1 с помощью разбиения на простые фигуры. Слева показано заданное сечение, справа оно со вспомогательной системой координат и разбиением на более простые фигуры:
Вспомогательную систему координат можно выбирать произвольно, на рисунке она выбрана так, чтобы было меньше промежуточных вычислений. Затем разбиваем трапецию на прямоугольный треугольник и прямоугольник. Центр тяжести треугольника находится на пересечении медиан, а центр тяжести прямоугольника на пересечении диагоналей. Находим площади простых фигур, площадь сечения, координаты центров тяжести простых фигур. Затем вычисляем координаты центра тяжести сечения через суммы. Ход вычислений приведен ниже (расчет был сделан в бесплатной программе SMath Studio которая очень удобна для таких простых вычислений):
А теперь проделаем то же самое с помощью интегрирования. В то же время это демонстрация определения статических моментов площади с помощью интегралов. Для этого не нужно разбивать сечение на простые фигуры, но без вспомогательной системы координат так же не обойтись:
Здесь для вычисления интегралов записаны выражения функций y(x)=Kx+B, коэффициенты определены из двух уравнений по двум точкам:
x=0; y=3.1
x=3; y=1.7
и x(y)=Ky+B
эта функция кусочная, если y находится на отрезке [0;1.7], то x(y)=3
если y находится на отрезке [1.7;3.1], то коэффициенты уравнения x(y)=Ky+B находятся по тем же двум точкам.
Как видно, результат полученный разными способами совпал.
Выбор способа вычисления зависит от вида поперечного сечения.
Если размеры заданы в сантиметрах, то статические моменты площади будут выражены в кубических сантиметрах
4. Моменты инерции (осевые, центробежный и полярный)
Интегралы вида
называются осевыми моментами инерции. Для поперечного сечения они всегда положительные, а для простых фигур из которых поперечное сечение состоит могут быть отрицательными (если эта фигура является вырезом).
Интеграл вида
называется центробежным моментом инерции, он может быть положительным, отрицательным и равным нулю
Интеграл вида
называется полярным моментом инерции.
Для полярной системы координат
поэтому
В частности для круглого сечения
Пример 3:
Найдем осевые и центробежный моменты инерции для прямоугольного сечения относительно центральных осей:
Моменты инерции выражаются в единицах длины в четвертой степени. Например, если размеры заданы в метрах, то моменты инерции будут выражены в метрах в четвертой степени.
5. Понятие о радиусах инерции
Осевые радиусы инерции:
6. Моменты сопротивления
Отношение осевых моментов инерции к координатам наиболее удаленных точек сечения называется осевыми моментами сопротивления (в системе главных центральных осей - об этом понятии во второй части этой лекции):
Продолжение здесь
При использовании материалов блога ссылка на источник обязательна
Лекция 1. Вводная. Часть 1.
Лекция 1. Вводная. Часть 2.
1. Зачем нужны геометрические характеристики плоских сечений бруса
Как видно из предыдущей лекции, для того, чтобы вычислить среднее напряжение на площадке необходимо знать площадь этой площадки. Этим примером применение геометрических характеристик конечно не ограничивается. В следующих лекциях будут рассматриваться различные виды напряженного состояния: растяжение-сжатие, изгиб, срез, кручение. Для определения напряжений и деформаций в которых нужно знать геометрическин характеристики поперечных сечений, которые будут рассмотрены в этой лекции.
Для дальнейшего изучения данной темы не помешает вспомнить основы интегрального исчисления (раздел высшей математики, которую изучают на младших курсах технических ВУЗов).
Для лучшего усвоения этой темы будет полезно вспомнить раздел интегрального исчисления из курса Высшей математики и особенно кратные интегралы (в этой лекции мы будем использовать двойные интегралы).
2. Площади поперечных сечений
Универсальный способ найти площадь поперечного сечения - с помощью интеграла. На рисунке показано произвольное сечение. Поперечное сечение разбиваем на элементарные прямоугольники и сумма площадей этих элементарных прямоугольников будет приблизительно равна площади сечения. Если размер элементарного прямоугольника стремится к нулю, то получим интеграл с помощью которого можно получить точное значение площади поперечного сечения:
Здесь и далее под интегралом по области (поперечному сечению) естественно имеется в виду двойной интеграл, который в части случаев сводится к обычному определенному интегралу.
Пример 1:
Найдем площадь прямоугольного треугольника:
Самое главное в таких примерах разбить сечение на элементарные площади, записать выражение для этой элементарной площади для подстановки под интеграл и увидеть пределы интегрирования. Это касается не только этого примера, но и следующих в этой лекции.
Разобьем треугольник на элементарные прямоугольники, найдем площадь элементарного прямоугольника и составим интеграл для вычисления площади:
В итоге получили привычную формулу. Аналогично можно вычислить площади других простейших фигур. В приведенном примере для построения интеграла была использована прямоугольная декартова система координат. Иногда удобно то же самое проделать с помощью полярной системе координат, например, для определения площади полукруга.
Сечение может состоять из нескольких простых фигур, выражения для площадей или их значения известны. В этом случае интеграл можно заменить знаком суммы и площадь составной фигуры будет равна сумме площадей элементарных фигур. Очевидно, что если составная фигура имеет отверстия, то площади отверстий войдут в общую сумму со знаком "-".
Площадь сечения всегда положительна, но площадь элементарной фигуры (отверстия) из которых состоит сечение может быть отрицательной.
3. Статические моменты площади. Центр тяжести поперечного сечения
Геометрическая характеристика статический момент площади важна как сама по себе так и в качестве инструмента для определения центра тяжести поперечного сечения. И, если площадь не зависит от положения поперечного сечения (передвинув сечение мы получим тот же результат, единственное, на что это повлияет - удобство составления интеграла), то статический момент площади вычисляется относительно оси координат и зависит от положения сечения относительно этой оси. Это видно из формул для определения статического момента площади. Статическими моментами площади называются интегралы вида (относительно осей x и y соответственно):
Статические моменты площади могут быть положительными, отрицательными, равными нулю.
Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю называются центральными осями.
На рисунке оси координат x и y - произвольные, yC и xC - центральные. Центр тяжести поперечного сечения лежит на центральных осях. Это свойство основано на следствии первой теореме о среднем.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда на отрезке [a;b] найдется такая точка c, что
более подробно об этой теореме, ее доказательстве и следствиях можно прочитать на стр. 226 [1].
[1] Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.: Учебник для университетов и пед. вузов/ Под ред. В.А. Садовничего - М.: Высш. шк. 1999. - 695 с.
Откуда можно найти координаты центра тяжести сечения:
Если сечение состоит из нескольких простых фигур, то координаты центра тяжести сечения находятся как суммы статических моментов площади деленные на площадь сечения:
Пример 2:
Найдем площадь и координаты центра тяжести сечения, состоящего из двух простых фигур двумя способами. Все размеры заданы в сантиметрах.
Способ 1 с помощью разбиения на простые фигуры. Слева показано заданное сечение, справа оно со вспомогательной системой координат и разбиением на более простые фигуры:
Вспомогательную систему координат можно выбирать произвольно, на рисунке она выбрана так, чтобы было меньше промежуточных вычислений. Затем разбиваем трапецию на прямоугольный треугольник и прямоугольник. Центр тяжести треугольника находится на пересечении медиан, а центр тяжести прямоугольника на пересечении диагоналей. Находим площади простых фигур, площадь сечения, координаты центров тяжести простых фигур. Затем вычисляем координаты центра тяжести сечения через суммы. Ход вычислений приведен ниже (расчет был сделан в бесплатной программе SMath Studio которая очень удобна для таких простых вычислений):
А теперь проделаем то же самое с помощью интегрирования. В то же время это демонстрация определения статических моментов площади с помощью интегралов. Для этого не нужно разбивать сечение на простые фигуры, но без вспомогательной системы координат так же не обойтись:
Здесь для вычисления интегралов записаны выражения функций y(x)=Kx+B, коэффициенты определены из двух уравнений по двум точкам:
x=0; y=3.1
x=3; y=1.7
и x(y)=Ky+B
эта функция кусочная, если y находится на отрезке [0;1.7], то x(y)=3
если y находится на отрезке [1.7;3.1], то коэффициенты уравнения x(y)=Ky+B находятся по тем же двум точкам.
Как видно, результат полученный разными способами совпал.
Выбор способа вычисления зависит от вида поперечного сечения.
Если размеры заданы в сантиметрах, то статические моменты площади будут выражены в кубических сантиметрах
4. Моменты инерции (осевые, центробежный и полярный)
Интегралы вида
называются осевыми моментами инерции. Для поперечного сечения они всегда положительные, а для простых фигур из которых поперечное сечение состоит могут быть отрицательными (если эта фигура является вырезом).
Интеграл вида
называется центробежным моментом инерции, он может быть положительным, отрицательным и равным нулю
Интеграл вида
называется полярным моментом инерции.
Для полярной системы координат
поэтому
В частности для круглого сечения
Пример 3:
Найдем осевые и центробежный моменты инерции для прямоугольного сечения относительно центральных осей:
Моменты инерции выражаются в единицах длины в четвертой степени. Например, если размеры заданы в метрах, то моменты инерции будут выражены в метрах в четвертой степени.
5. Понятие о радиусах инерции
Осевые радиусы инерции:
6. Моменты сопротивления
Отношение осевых моментов инерции к координатам наиболее удаленных точек сечения называется осевыми моментами сопротивления (в системе главных центральных осей - об этом понятии во второй части этой лекции):
Продолжение здесь
При использовании материалов блога ссылка на источник обязательна