Еще немного о бильярдах

[xcontcom]

В статье Фракталы в иррациональных числах (Часть 1) (есть еще часть 2) мы строили фрактальные двоичные последовательность с помощью бильярдов, следующим образом:



Берем прямоугольный бильярд, запускаем шар из левого верхнего угла, под углом 45°. Когда шар прилетает к верхней границе, фиксируем, с какой стороны шар прилетел:
Если шар прилетел, отскочив от правой границы - фиксируем 1
Если шар прилетел, отскочив от левой границы - фиксируем 0
Числа на картинке выше - номера касания шара верхней границы. Цвет числа показывает, откуда прилетел шар (слева или справа).

Далее мы заменяем числа на соответствующие единицы и нули, сохраняя при этом позицию:



Получили первую фрактальную последовательность [1].

Следующую фрактальную последовательность [2] получим, если расставим числа по порядку и опять же заменим на соответствующие единицы и нули:



Для бильярда, стороны которого равны числам Фибоначчи, эти две последовательности совпадают (или инвертируются).

Пользуясь этим свойством (последовательности совпадают), мы можем нарисовать паттерн для бильярдов с несоизмеримыми сторонами (одна из сторон равна золотому сечению, вторая равна единице). В статье это все подробно описал.

С помощью бильярдов можно построить еще больше фрактальных последовательностей!

У верхней и нижней границ фиксируем 0. У левой и правой фиксируем 1:



Для бильярда, стороны которого равны золотому сечению и единице, получим последовательность Fibonacci word sequence [3]. В Википедии есть статья об этой последовательности.

В своей статье я написал, что последовательность [1] заполняется хаотично:



На самом деле этот хаос не совсем хаос (квазихаос :).

Номера касания шара верхней границы тоже имеют некоторый фрактальный порядок. Самое очевидное, что с этими номерами можно сделать - посмотреть их четность:



Получили четвертую последовательность [4].

В качестве примера, несколько последовательностей для бильярдов со сторонами равными числам Фибоначчи:



На картинке:
Два синих числа - ширина и высота бильярда.
В следующей строке - номера касания шара верхней границы.
И далее четность номеров. (для четных - 0, для нечетных - 1).

Возьмем два числа Фибоначчи побольше (для визуализации). 4181 и 2584:



Получили нормальную такую пачку единиц и нулей:

011001001001101101100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100100100110110010010011011001001001101101100100110110110010010011011001001001101100100100110110110010011011011001001101101100100100110110010010011011011001001101101100100110110110010010011011001001001101101100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100100100110110010010011011001001001101101100100110110110010011011011001001001101100100100110110110010011011011001001101101100100100110110010010011011011001001101101100100110110110010010011011001001001101100100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100100110110110010010011011001001001101101100100110110110010011011011001001001101100100100110110110010011011011001001101101100100100110110010010011011001001001101101100100110110110010010011011001001001101100100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100100110110110010010011011001001001101101100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100100100110110010010011011001001001101101100100110110110010010011011001001001101100100100110110110010011011011001001101101100100100110110010010011011011001001101101100100110110110010010011011001001001101100100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100100100110110010010011011001001001101101100100110110110010011011011001001001101100100100110110110010011011011001001101101100100100110110010010011011011001001101101100100110110110010010011011001001001101100100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100100110110110010010011011001001001101101100100110110110010011011011001001001101100100100110110110010011011011001001101101100100100110110010010011011001001001101101100100110110110010010011011001001001101100100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100100110110110010010011011001001001101101100100110110110010011011011001001001101100100100110110010010011011011001001101101100100100110110010

Визуализация с помощью turtle graphics:



Визуализация вторым способом:



(тут только часть последовательности, чтобы картинка в пост влезла)

Еще один пример - бильярд со сторонами равными числам Пелля (985, 408):

Номера касания верхней стенки:
0, 408, 169, 239, 338, 70, 478, 99, 309, 268, 140, 437, 29, 379, 198, 210, 367, 41, 449, 128, 280, 297, 111, 466, 58, 350, 227, 181, 396, 12, 420, 157, 251, 326, 82, 490, 87, 321, 256, 152, 425, 17, 391, 186, 222, 355, 53, 461, 116, 292, 285, 123, 454, 46, 362, 215, 193, 384, 24, 432, 145, 263, 314, 94, 483, 75, 333, 244, 164, 413, 5, 403, 174, 234, 343, 65, 473, 104, 304, 273, 135, 442, 34, 374, 203, 205, 372, 36, 444, 133, 275, 302, 106, 471, 63, 345, 232, 176, 401, 7, 415, 162, 246, 331, 77, 485, 92, 316, 261, 147, 430, 22, 386, 191, 217, 360, 48, 456, 121, 287, 290, 118, 459, 51, 357, 220, 188, 389, 19, 427, 150, 258, 319, 89, 488, 80, 328, 249, 159, 418, 10, 398, 179, 229, 348, 60, 468, 109, 299, 278, 130, 447, 39, 369, 208, 200, 377, 31, 439, 138, 270, 307, 101, 476, 68, 340, 237, 171, 406, 2, 410, 167, 241, 336, 72, 480, 97, 311, 266, 142, 435, 27, 381, 196, 212, 365, 43, 451, 126, 282, 295, 113, 464, 56, 352, 225, 183, 394, 14, 422, 155, 253, 324, 84, 492, 85, 323, 254, 154, 423, 15, 393, 184, 224, 353, 55, 463, 114, 294, 283, 125, 452, 44, 364, 213, 195, 382, 26, 434, 143, 265, 312, 96, 481, 73, 335, 242, 166, 411, 3, 405, 172, 236, 341, 67, 475, 102, 306, 271, 137, 440, 32, 376, 201, 207, 370, 38, 446, 131, 277, 300, 108, 469, 61, 347, 230, 178, 399, 9, 417, 160, 248, 329, 79, 487, 90, 318, 259, 149, 428, 20, 388, 189, 219, 358, 50, 458, 119, 289, 288, 120, 457, 49, 359, 218, 190, 387, 21, 429, 148, 260, 317, 91, 486, 78, 330, 247, 161, 416, 8, 400, 177, 231, 346, 62, 470, 107, 301, 276, 132, 445, 37, 371, 206, 202, 375, 33, 441, 136, 272, 305, 103, 474, 66, 342, 235, 173, 404, 4, 412, 165, 243, 334, 74, 482, 95, 313, 264, 144, 433, 25, 383, 194, 214, 363, 45, 453, 124, 284, 293, 115, 462, 54, 354, 223, 185, 392, 16, 424, 153, 255, 322, 86, 491, 83, 325, 252, 156, 421, 13, 395, 182, 226, 351, 57, 465, 112, 296, 281, 127, 450, 42, 366, 211, 197, 380, 28, 436, 141, 267, 310, 98, 479, 71, 337, 240, 168, 409, 1, 407, 170, 238, 339, 69, 477, 100, 308, 269, 139, 438, 30, 378, 199, 209, 368, 40, 448, 129, 279, 298, 110, 467, 59, 349, 228, 180, 397, 11, 419, 158, 250, 327, 81, 489, 88, 320, 257, 151, 426, 18, 390, 187, 221, 356, 52, 460, 117, 291, 286, 122, 455, 47, 361, 216, 192, 385, 23, 431, 146, 262, 315, 93, 484, 76, 332, 245, 163, 414, 6, 402, 175, 233, 344, 64, 472, 105, 303, 274, 134, 443, 35, 373, 204

Четность:
0011000110011100111001100011000110001100111001110011000110001100111001110011100110001100011001110011100111001100011000110011100111001100011000110001100111001110011000110001100011001110011100110001100011000110011100111001100011000110011100111001110011000110001100111001110011100110001100011001110011100110001100011000110011100111001100011000110001100111001110011000110001100111001110011100110001100011001110011100111001100011000110011100111001110011000110001100111001110011000110001100011001110

Если визуализировать с помощью turtle graphics - получается бяка:



Вторым способом:



Ехаем дальше.



Нумеруем позиции, в которые прилетает шар, слева направо (белые числа на графике).
Дальше запускаем шар. Первое касание в 21-й позиции, второе в 13-й позиции (черные числа).

Дальше упорядочим черные числа, вместе с ними в том же порядке переставим белые:



Черные числа - номер касания шара. Белые - в какой позиции шар коснулся. Дальше можем проверить четность этих позиций и получим еще одну фрактальную последовательность [5]. Для чисел Фибоначчи последовательность [4] и [5] совпадают. Для чисел Пелля - тоже совпадают. Для пары чисел "от балды" - с большей вероятностью не совпадут.

В качестве примера, пара чисел от балды 5741 и 2378+1 (число Пелля и предыдущее число Пелля увеличенное на единицу). Последовательности [4] и [5]:

001111000111000011100001110000111000111100011110001110000111000011100011110001111000111100011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000011100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111100011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000111100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111000011100001110000111000111100011110001110000111000011100011110001111000111100011100001110000111000111100011110001111000111000011100001110001111000111100011100001110000111000011100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111100011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000011100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111000011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000111100011110001111000111000011100001110001111000111100011100001110000111000011100011110001111000111000011100001110000111000111100011110001110000111000011100011110001111000111100011100001110000111000111100011110001111000111000011100001110001111000111100011100001110000111000011100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111100011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000111100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111000011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000111100011110001111000111000011100001110001111000111100011100001110000111000011100011110001111000111000011100001110000111000111100011110001110000111000011100011110001111000111100011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000011100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111000011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000111100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111000011100001110000111000111100011110001110000111000011100011110001111000111100011100001110000111000111100011110001111000111000011100001110001111000111100011100001110000111000011100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111100011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000011100011110001111000111000011100001110001111000111100011110001110000111000011100011110001111000111000011100001110000111000111100011110001110000111000011100001110001111000111100011100001110000111000111100011

011001001100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110110011011001001100100110110011011001001101100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001100100110110010011001001101100110110010011001001101100100110010011011001101100100110110011011001001

Визуализация последовательности [4] двумя способами:





(часть последовательности, чтобы картинка влезла)

Последовательность [5]:





(часть последовательности, чтобы картинка влезла)

Дальше.



Фиксируем, с какой стороны было касание (шара у верхней границы) относительно предыдущего. Если слева - записываем 1. Если справа - 0.

В качестве примера возьмем бильярд со сторонами 55х34. Первое касание справа от начальной точки (угол из которого вылетел шар). Записали 0.
Второе касание слева от первого. Записали 1.
Третье - слева от второго. Записали 1.
Четвертое - справа от третьей. Записали 0.
Пятое - слева от четвертого. Записали 1
Шестое справа от пятого. Записали 0.
Седьмое справа от шестого. Записали 0.
И т.д.

Нули и единицы можем записывать в позиции, в которые прилетает шар. Получим последовательность [6].
Или записывать по порядку. Получим последовательнось [7].

Для бильярда 55х34 эти две последовательности:
111111111101101000000000000
011010010100101101001011010



Ну и несколько примеров. Числа Фибоначчи 987 и 610. Две последовательности:

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111101101001010010110100101101011010010110100101101011010010110100101001011010010110101101001011010010100101101001011010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0110100101001011010010110101101001011010010110101101001011010010100101101001011010110100101101001010010110100101101001010010110100101101011010010110100101001011010010110101101001011010010100101101001011010010100101101001011010110100101101001010010110100101101011010010110100101101011010010110100101001011010010110101101001011010010100101101001011010010100101101001011010110100101101001010010110100101101011010010110100101101011010010110100101001011010010110101101001011010010100101101001011010

Визуализация:





Числа Пелля 985 и 408. Две последовательности:
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111010100101011010100101011010100101001010110101001010110101001010110101101010010101101000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

010010101101010010100101011010100101011010100101011010110101001010110101001010110101001010010101101010010101101010010100101011010100101011010100101011010110101001010110101001010110101001010010101101010010101101010010101101011010100101011010100101011010100101001010110101001010110101001010110101101010010101101010010101101011010100101011010100101011010100101001010110101001010110101001010110101101010010101101010010101101010010100101011010100101011010100101011010110101001010110101001010110101

Визуализация:





Числа "от балды" 985 и 409:





985 и 407: