Немного хаоса в этот блог 2
На днях задумался о длине периода десятичной записи дроби 1/n. Наделал графиков и получил еще немного хаоса...
Чтобы не запутаться в формулировках, опишу проблему простыми словами.
Из школьного курса математики (5-й класс), мы знаем, что число (1/n) можно записать в виде десятичной дроби. В школе нас научили делить в столбик и рассказали, что бывают конечные десятичные дроби и бесконечные (периодические) десятичные дроби. Например:
1/4=0.25 - конечная десятичная дробь
1/7=0.(142857)142857142... - периодическая дробь. В ней повторяются цифры 142857. Эти цифры - "период" дроби. Длина периода, для дроби 1/7 равна 6.
Больше нам в школе о десятичных дробях ничего не рассказывали. А между тем, тема интересная.
У меня, при взгляде на такую запись числа, возникают два вопроса:
1. Для каких n получим периодическую дробь, а для каких - конечную.
2. Как от n зависит длина периода.
Ответ на первый вопрос очевиден. Периодическую дробь получим, если в разложении знаменателя (n) на простые делители имеются числа, которых нет в разложении основания (b) системы счисления, в которой мы эту дробь записываем.
Пример. Основание нашей привычной десятичной системы (b=10) можно разложить на простые делители 2 и 5. Если в разложении знаменателя дроби (n) присутствуют только эти цифры (2 и 5) - получаем конечную дробь:
1/20=1/(2*2*5)=0.05
1/16=1/(2*2*2*2)=0.0625
Другими словами, конечную дробь получаем для любых чисел n=(2^m)*(5^k), где m и k целые числа.
Если же туда в знаменатель вкрадется тройка или любое другое простое число - получим периодическую дробь:
1/14=1/(2*7)=0.0(714285)
1/12=1/(2*2*3)=0.08(3)
1/21=1/(3*7)=0.(047619)
Это правило работает для любых систем счисления. На картинке (кликабельно) записал первые 24 дроби для первых 9 систем счисления:
Десятичная система счисления - атавизм, поэтому дальше ее не рассматриваю. Пользуемся мы этой системой только из-за того, что у нас 10 пальцев на руках. Наши предки считали на пальцах. Когда пальцев стало не хватать - придумали записывать единичку в следующий разряд (10). Больше эта система счисления ни к чему не привязана. 10 - это, ни просто число, ни квадрат целого числа, и даже ни число Фибоначчи. 10 - скучно число. Я бы даже сказал "мутное".
Вот 2 - отличное число. В двоичной системе счисления конечные дроби получаем только для n=2^m (m-целое число). К тому же в периоде дроби присутствуют только два знака - 1 и 0, что гораздо удобнее для поиска закономерностей.
Ответ на второй вопрос (как от n зависит длина периода дроби) менее очевиден и до сих пор до конца не изучен. Выявили только несколько закономерностей, которые общую картину не проясняют. Над этой проблемой в свое время ломал голову известный математик Гаусс (Википедия называет его одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»).
Вот тут http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/02/kv0200semenova.pdf пишут:
Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, будучи гимназистом, обращал дроби вида 1/p, где p - простое число, отличное от 2 и 5, в бесконечные десятичные дроби: в каждом случае он с поразительным терпением ожидал, когда знаки начнут повторяться. Ему хотелось понять, как зависит длина периода такой дроби от p.
Выписывание полного периода, скажем, для p=47 - утомительное занятие (46 знаков!). Однако Гаусс не терял надежды и продолжал вычисления: он выписывал периоды для всех простых чисел p<1000. Главная закономерность, которую он обнаружил, состоит в том, что длина L(p) наименьшего периода такой дроби является делителем числа p - 1, иногда совпадая с ним.
Вот дядька заморочился - все периоды выписывать. Это надо сидеть и 1 делить "в столбик" на 47, пока знаки не начнут повторяться. А, между тем, закономерность он так до ума и не довел (это "иногда" - очень туманное).
Я вот задумался, а если бы у Гаусса или, скажем, у Эйлера, был бы компьютер - каких бы они бед в математике могли бы начудить.
Мы с вами не Гауссы и не Эйлеры, но компьютер у нас есть. А компьютер - отличное средство для визуализации данных. Ну и визуально эти данные намного проще воспринимать и намного проще искать в них закономерность.
Записал первые 52 двоичные дроби. Красными линиями отметил период в каждой из них:
Длина периода хаотична.
Также можем записать в матрицу все дроби от 1/1 до 1/100 с точностью до сотого знака:
1/1=1.1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1/2=0.1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/3=0.0101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
1/4=0.0100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/5=0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011
1/6=0.0010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
1/7=0.0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010
1/8=0.0010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
...
1/100=0.0000001010001111010111000010100011110101110000101000111101011100001010001111010111000010100011110101
И дальше получившуюся матрицу преобразовать в картинку, закрасив единички белым цветом, а нолики - черным:
Ух, какая красота получается. Не видать закономерности!
Матрица 1000х1000:
Опять же хаос, но тут уже можно увидеть необычные вертикальные линии. Первая такая линия - где-то в районе 360-го знака (после запятой, в двоичной дроби) чаще встречаются нолики. Горизонтальные линии - это степени двойки.
Мне кажется или картиночка фрактальная?
Матрица 3000х3000 (кликабельно):
Матрица 500х12000:
