Гомотопическое
Фольклорный результат
Коллеге, гостящему у нас, пришёл по емайлу вопрос от филдсовского лауреата из Гарварда:
❝Hi Xxxxx,
Here is an Arnold type question that I presume a large community knows
that answer to - but I haven’t found anyone in that community nearby!
Let V be a the germ of a singular analytic curve in C^2. Can one
change coordinate analytically so V becomes the germ of an algebraic
curve?
Any references or comments are much appreciated!❞
Мы с коллегой, прикинув, решили, что ответ, скорее всего, положительный, но скорее всего фольклорный, т.е., доказательство проще всего придумать самим, чем найти, где он опубликован. Разумеется, все такие результаты либо доказываются при помощи гомотопического метода, либо неверны и сразу видно препятствие... пишем очевидную деформацию... дифференцируем, получаем стандартное гомологическое уравнение... упрощаем... так, для разрешимости достаточно показать, что все мономы достаточно высокого порядка лежат в градиентном идеале изолированной особенности... точно, да, в Арнольде такая лемма была.
Арнольд стоит тут же на полке, затрёпанный до нечитабельности за 35 лет, сам раскрывается на нужной странице, вот она, лемма. Проверяем, - да, в самом деле, все концы сходятся. Ххххх уходит к себе в оффис, писать ответ гарвардскому другу, а я лезу искать ссылку на нужную страницу соответствующего английского перевода. "Отлистываю" несколько страниц вперёд, - и нахожу там, о сюрприз, - не только лемму, но и сам результат, выведенный из леммы ровно так же, как мы только что за 5 минут вывели. Цитата из Арнольда (в русском оригинале):
❝В качестве примера применения гомотопического метода приведём доказательство теоремы Тужрона (1968), принадлежащее Мазеру. [...] Опубликовано по меньшей мере четыре доказательства этой теоремы [идут ссылки на работы самого Тужрона, Арнольда, Артина и Самойленко- Х.В.]❞
Иными словами, результат, который в момент открытия, 50 лет назад, считался настолько фундаментальным, что удостоился четырёх разных доказательств, переместился за это время в зону полузабытого фольклора. Зато метод Мазера, которым его доказали и который Арнольд довёл до предельной простоты и прозрачности, врезался в память как наиболее очевидный, мощный и универсальный инструмент. В общем, благодаря Арнольду.
Вот как надо писать учебники, ребята.
Примечание. Термин "Арнольд" использован выше в двух близких, но не тождественных смыслах:
- В. И. Арнольд (1937-2010), великий математик ХХ века
- В. И. Арнольд, А. Н. Варченко. С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений, т. 1, М., Наука, 1982.
♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. Комментируйте где хотите, на Дриме уже
таких осторожных комментаторов набралось.
А Оккам... да хрен с ним, с Оккамом!