Родился в крестьянской семье, проживавшей на территории Западной Белоруссии, в Воложинском районе Минской области, которая в марте 1921 года отошла к Польше. Отец - столяр.
По окончании школы был призван в польскую армию, в составе которой служил унтер-офицером 3-го дивизиона зенитной артиллерии в городе Вильно. В сентябре 1939 года, командуя расчётом зенитного орудия, участвовал в боях против германского вторжения в Польшу. Под Варшавой его орудие сбило три самолёта Junkers.
Когда в 1939 году восточные районы Польши заняли советские войска, стал гражданином СССР, преподавал в начальной школе.
В 1940 году направлен на службу в органы НКВД СССР, в 1941 году окончил разведывательную школу. В июле 1941 года зачислен в состав Отдельной мотострелковой бригады особого назначения, подчинявшейся четвёртому управлению НКВД СССР (начальник управления - Павел Судоплатов).
В ноябре 1941 года в качестве командира разведывательно-диверсионной группы переброшен за линию фронта. Участвовал в обороне Москвы.
В 1942 году направлен в глубокий тыл врага в западные районы Украины и Белоруссии. Действовал там как самостоятельно, так и в составе крупных партизанских отрядов.
Был заместителем по разведке командира партизанского соединения Героя Советского Союза Виктора Карасёва.
Под его непосредственным руководством проведена операция по взрыву немецкого гебитскомиссариата в городе Овруч Житомирской области Украинской ССР, когда там находилась инспекция из Германии. В результате этой операции 9 сентября 1943 года уничтожено 80 гитлеровских офицеров. За эту операцию Алексей Ботян был представлен к званию Героя Советского Союза, но награды тогда не получил.
В мае 1944 года по заданию Центра во главе группы из 28 человек совершил переход в Польшу, имея задачу организации разведки расположения и передвижения противника в районе города Кракова. Благодаря хорошему знанию польского языка и культуры местного населения, а также своим организаторским способностям, Алексей Ботян сумел организовать взаимодействие и совместные боевые операции с такими разными политическими силами, как части Армии Крайовой, Армии Людовой и крестьянскими Батальонами Хлопскими. Под его руководством была проведена операция по захвату совместно с подразделениями Армии Людовой города Илжа, в ходе которой из тюрьмы были освобождены арестованные польские патриоты, захвачено большое количество оружия и снаряжения.
В настоящее время в городе Илжа установлен памятник героям этого боя, на котором вместе с именами поляков выбиты имена и советских бойцов группы Ботяна. Группе Алексея Ботяна удалось обосноваться в районе Кракова и развернуть широкую разведывательную и диверсионную деятельность. В конце 1944 года бойцами группы был захвачен инженер-картограф Зигмунд Огарек, этнический поляк, мобилизованный в состав гитлеровской армии и служивший в тыловых подразделениях вермахта. Огарек дал ценные показания о складе взрывчатки доставленной в Ягелонский за́мок, которую, по одной из версий, предполагалось использовать для уничтожения исторического центра Кракова, Рожновской плотины и мостов через реку Дунаец. Алексею Ботяну удалось внедрить в за́мок под видом грузчика польского патриота, который установил мину замедленного действия.
В разгар наступления Красной армии утром 18 января 1945 года мина была приведена в действие и вражеский склад взлетел на воздух. На следующий день, 19 января в Краков вошли передовые части 1-го Украинского фронта под командованием Маршала Советского Союза Ивана Конева. Город практически не пострадал в ходе боевых действий (было взорвано лишь несколько мостов через Вислу).
Роль Алексея Ботяна в сохранении Кракова во время Второй мировой войны ставится под сомнение в современной Польше.
В последние месяцы войны группа Алексея Ботяна действовала в тылу врага на оккупированной территории Чехословакии.
С 1945 года проходил службу в оперативном составе 1-го Управления (внешняя разведка) Наркомата государственной безопасности СССР (с 1946 года - Министерство государственной безопасности СССР, с 1954 года - Комитет государственной безопасности при Совете Министров СССР).
В 1947 году был заброшен в Чехословакию под видом рабочего-чеха, работал слесарем на заводе в городе Жатец Судетской области, там же учился в Высшей промышленной моторостроительной школе. Пройдя натурализацию, переведён на урановые рудники в Яхимов. В дальнейшем неоднократно выезжал в заграничные командировки в различные европейские страны для выполнения сложных и ответственных заданий, сведения о которых ещё засекречены.
Привлекался для консультирования сотрудников группы специального назначения «Вымпел».
В 1983 году в звании полковника уволен в отставку по возрасту. До 1989 года продолжал работать в органах КГБ СССР в качестве гражданского специалиста.
Владел немецким, польским и чешским языками.
Указом Президента Российской Федерации от 10 мая 2007 года «за мужество и героизм, проявленные в ходе операции по освобождению польского города Кракова и предотвращению уничтожения его немецко-фашистскими захватчиками в период Великой Отечественной войны 1941-1945 годов» полковнику в отставке Ботяну Алексею Николаевичу было присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали «Золотая Звезда».
Проживал в Москве.
Скончался 13 февраля 2020 года. 10 февраля ему исполнилось 103 года.