О пустых множествах
Обнаружил у И-П интересный диалог.
lawyer_of_lie: Математика. Теория множеств.
Сколько элементов содержит пустое множество?
Как может существовать множество, если элементов у множества меньше 2? Ведь,
Мно́жество - одно из ключевых понятий математики, представляющее собой набор, совоку́пность каких-либо (вообще говоря любых) объектов - элеме́нтов этого множества.
Т.е. если я правильно понимаю, то в множестве должна быть совокупность. А совокупность может возникать между 2 и более элементами. Значит, если существует только один элемент, то называть этот один предмет "множеством" у меня язык не поворачивается.
Вопрос: как в математике это существует?
deadkittten: Существует несколько теорий множеств. То, что вы цитируете, это так называемая "наивная теория множеств" с которой всё начиналось и которая ещё "привязана" к реальному миру. Отсюда и подобные не то, чтобы парадоксы, но "скользкие места" (например, в вашем определении просто пользуются синонимами и получают "множество представляет собой множество своих элементов"). С другой стороны, именно из-за привязки к реальному миру её относительно легко преподавать в школе.
С развитием теорий множеств они перешли на аксиоматический подход (системы ZF, ZFC и так далее) и там множество это просто некий математический объект с определёнными свойствами, уже не привязанный к понятиям "набор" или "совокупность".
lawyer_of_lie: Но ведь если отвязать от реального мира, то разве не начинается всякая магия?
deadkittten: А вся современная математика именно из такой "магии" и состоит. Век наивных теорий (есть, например, ещё "наивная теория вероятностей", та, которая с бросанием костей) прошёл лет 200 назад. Современные математические теории на "примеры из природы" не опираются.
Сейчас, можно сказать, что зависимость между физикой и математикой обернулась: физики используют подходящую (возникшую независимо) теорию для того, чтобы описать природу (а не, как раньше, математическая теория появляется как результат обобщения наблюдений за природой).
* * *
Сразу оговариваюсь, что к математике отношения не имею и рассуждаю как обыватель, дилетант и демагог.
Уже многократно встречал утверждения, что математические теории строятся на аксиоматическом принципе, отсюда - что заложим, то и получим. Но одно дело, когда все-таки поначалу придерживались исходного понимания аксиомы как "истины, очевидной самой по себе" и совсем другое, когда аксиоматика строится произвольно, как захочется левой пятке математического гения (и тем более НЕ гения), вплоть до 2х2=5. В применении к самой математике это вполне допустимо и часто плодотворно, но как только дело касается приложения выводов к реальному физическому миру, вот тут-то и вылазят все эти парадоксальные сущности: сингулярности, принципиально ненаблюдаемые частицы, многомировые концепции и т.д. и т.п. имя им легион. И как завершение всего этого - катастрофические выводы Геделя и Чейтина.
Вот и тут тоже - первый собеседник прав, множество начинается с двух, уже с одного элемента оно вырождается (это уже не множество, а единичность), а в нуле исчезает, нет его, не существует. Но вместо того, чтобы признать, что множества с нулевым количеством элементов не существует, произвольно постулируется "пустое множество". Это чисто математический трюк, не имеющий никакого отношения к реальности, и таких трюков теоретики провернули уже немало. Пора бы, наконец, сообразить, что переносить теоретические математические выводы на реальный мир без учета их физического смысла неправомерно и может завести в тупик, что мы и видим в физике и астрологии, пардон, космологии.
lawyer_of_lie: Математика. Теория множеств.
Сколько элементов содержит пустое множество?
Как может существовать множество, если элементов у множества меньше 2? Ведь,
Мно́жество - одно из ключевых понятий математики, представляющее собой набор, совоку́пность каких-либо (вообще говоря любых) объектов - элеме́нтов этого множества.
Т.е. если я правильно понимаю, то в множестве должна быть совокупность. А совокупность может возникать между 2 и более элементами. Значит, если существует только один элемент, то называть этот один предмет "множеством" у меня язык не поворачивается.
Вопрос: как в математике это существует?
deadkittten: Существует несколько теорий множеств. То, что вы цитируете, это так называемая "наивная теория множеств" с которой всё начиналось и которая ещё "привязана" к реальному миру. Отсюда и подобные не то, чтобы парадоксы, но "скользкие места" (например, в вашем определении просто пользуются синонимами и получают "множество представляет собой множество своих элементов"). С другой стороны, именно из-за привязки к реальному миру её относительно легко преподавать в школе.
С развитием теорий множеств они перешли на аксиоматический подход (системы ZF, ZFC и так далее) и там множество это просто некий математический объект с определёнными свойствами, уже не привязанный к понятиям "набор" или "совокупность".
lawyer_of_lie: Но ведь если отвязать от реального мира, то разве не начинается всякая магия?
deadkittten: А вся современная математика именно из такой "магии" и состоит. Век наивных теорий (есть, например, ещё "наивная теория вероятностей", та, которая с бросанием костей) прошёл лет 200 назад. Современные математические теории на "примеры из природы" не опираются.
Сейчас, можно сказать, что зависимость между физикой и математикой обернулась: физики используют подходящую (возникшую независимо) теорию для того, чтобы описать природу (а не, как раньше, математическая теория появляется как результат обобщения наблюдений за природой).
* * *
Сразу оговариваюсь, что к математике отношения не имею и рассуждаю как обыватель, дилетант и демагог.
Уже многократно встречал утверждения, что математические теории строятся на аксиоматическом принципе, отсюда - что заложим, то и получим. Но одно дело, когда все-таки поначалу придерживались исходного понимания аксиомы как "истины, очевидной самой по себе" и совсем другое, когда аксиоматика строится произвольно, как захочется левой пятке математического гения (и тем более НЕ гения), вплоть до 2х2=5. В применении к самой математике это вполне допустимо и часто плодотворно, но как только дело касается приложения выводов к реальному физическому миру, вот тут-то и вылазят все эти парадоксальные сущности: сингулярности, принципиально ненаблюдаемые частицы, многомировые концепции и т.д. и т.п. имя им легион. И как завершение всего этого - катастрофические выводы Геделя и Чейтина.
Вот и тут тоже - первый собеседник прав, множество начинается с двух, уже с одного элемента оно вырождается (это уже не множество, а единичность), а в нуле исчезает, нет его, не существует. Но вместо того, чтобы признать, что множества с нулевым количеством элементов не существует, произвольно постулируется "пустое множество". Это чисто математический трюк, не имеющий никакого отношения к реальности, и таких трюков теоретики провернули уже немало. Пора бы, наконец, сообразить, что переносить теоретические математические выводы на реальный мир без учета их физического смысла неправомерно и может завести в тупик, что мы и видим в физике и астрологии, пардон, космологии.