Бусы
У Юли есть бусинки 5 цветов. Она составляет ожерелье из 5 бусинок. Какое наибольшее количество разных ожерелий она может сделать?
Эту задачу задали на олимпиаде для 5 класса.
На эту задачу поступило много сообщений.
Будем считать, что бусинок каждого цвета много.
Бусы АААББ и БАААБ одинаковые.
Дадим два решения.
Решение 1.
Подсчитаем бусы с разным количеством цветов.
Если только один цвет, то у нас 5 вариантов.
Если два цвета, то есть варианты 4+1 и 3+2.
Варианты 4+1 это ААААБ. А любой из 5. Б любой из 4. Всего 20.
Варианты 3+2 это АААББ или ААБАБ. Еще 2 по 20.
Всего двухцветных 60.
Если 3 цвета.
Вариант 3+1+1 или 2+2+1
Варианты 3+1+1.
АААБВ. Таких вариантов 5*6=30.Выбрать А 5 способов. Выбрать 2 из 4 есть 6 способов.
ААБАС. Таких вариантов 5*6=30.
Варианты 1+2+2.
ААВВС. Таких 30.
ААВСВ Таких 5*4*3=60.
АСВАВ. Таких 5*6=30.
Всего трехцветных 30+30+30+60+30=180.
Четырехцветные. ААВСД или АВАСД.
Первых 5*4*3=60.
5*4*3=60. Всего четырехцветных 120.
Пятицветных 12.
Всего 5+60+180+120+12=377.
Второе решение.
Если мы раскладываем бусы в витрине музея, то вариантов 5 в пятой = 3125. При этом одноцветные бусы мы можем сфотографировать единственным способом. Имеющие более одного цвета мы можем вращать. Имеющие симметрию можно сфотографировать 5 раз. А остальные 10.
Получаем 3125=А+5В+10С. Здесь А количество одноцветных.
В количество имеющие симметрию неодноцветных.
С число прочих.
Симметрия имеет вид ХУАУХ. Их 5 в кубе =125.
Но 5 из них одноцветных.
Поэтому В=120.
Тогда 3125=5+5*120+10С.
10С=3125-5-600=2520. Поэтому С=252.
Всего А+В+С=5+120+252=377.
Ура совпало!
Если ответы случайно совпали, то это увеличивает вероятность того, что они верные.
Итак, 377.