Парадокс двух конвертов

[voidex]

Парадокс двух конвертов формулируется так: вам даны два конверта, в одном из них денег в два раза меньше, чем в другом; вы выбираете один, смотрите содержимое, а потом решаете, взять ли другой конверт (не глядя) или оставить этот.
Интуитивно кажется, что разницы никакой (по крайней мере мне), с другой стороны, на мембране написано иначе, мол, если вы видите 10 рублей, то в другом конверте или 5, или 20, а следовательно при смене вы будете получать, в среднем 12.5. Шоке-шоке.
Далее пишут, что если вообще задаться любой величиной (например, 100 рублей), и менять конверт, если в открытом конверте сумма меньше, то вы также будете в выигрыше. Ну и третий способ: менять, если в открытом конверте сумма меньше, чем вы получили в прошлом розыгрыше.

Итого, три метода:

1. Менять конверт всегда
    
2. Менять, если сумма в конверте меньше N
    
3. Менять, если сумма в конверте меньше, чем в предыдущем раунде
    

1-й вариант не работает, интуиция тут не подводит. Хотя исхода правда два (во втором или 5, или 20), но вероятность этого нам неизвестна. Если конверт меняется всегда, то очевидно, что это всё равно, что сразу выбрать другой конверт (ведь сама сумма нас не интересует). Симметричость этих вариантов очевидна.

Однако 2-й вариант может сработать! Предположим, что максимальная сумма в конвертах - M, тогда пары конвертов можно разбить на три группы:

1. В обоих конвертах сумма меньше N - выигрыша не будет, так как всегда меняем, равноценно 1-му варианту
    
2. В обоих конвертах сумма больше N - аналогично нет выигрыша
    
3. В одном больше, в другом меньше. В этом случае, мы всегда будем брать конверт с большей суммой. В среднем без смены конверта мы бы получали 1.125N (минимальный конверт - 0.5 и 1, среднее 0.75, максимальный конверт - 1 и 2, среднее 1.5, так как сами конверты тоже равномерно распределены, то общее среднее - 1.125), а со сменой - 1.5N, выигрыш в 0.375N. Самих таких конвертов будет (2N-N)/M = N/M. Общий выигрыш за K игр = 0.375N * N/M * K.
   У меня в тесте получилось 3799273, почти 3750000.
    

Итак, в этом случае у нас неиллюзирный выигрыш, однако я немного соврал насчёт количества конвертов, если 2N меньше M, тогда их будет уже (M-N)/M=1-N/M, и выигрыш опять будет падать. Оптимально - N = M/2.

Если M заведомо большое (на например хоть раз нам выпало 500 рублей), можно взять небольшое N и получать стабильный профит.

Рассуждения проводились для равномерного распределения, для неравномерного будет уже всё иначе, но по крайней мере видно, что здесь нет никакого обмана.

3-й способ ещё лучше, так как он выбирает N на ходу, таким образом нас не волнует M, главное, чтоб оно было вообще.

Однако в исходной постановке задачи, когда распределение не оговаривается никак, ответа дать невозможно.
Имелось в виду, что в исходной постановке вроде ничего не говорится о вероятностях вообще, проводящий лотерею может класть суммы в определённом порядке. В этом случае я не знаю, есть ли тактика.