Сопряженное уравнение Лагранжа, Самосопряженная форма уравнения
Пусть L(y(x),x) дифференциальный многочлен второго порядка:
Сучествует ли такой многочлен(множитель) z(х), что умножая его на многочлен L(y(x),x), можно получить производную от дифференциального многочлена (первого порядка): φ(y(x),z(x))
Такой множитель сушествует, воспользуемся формулой интегрирования по частям, для каждого члена z(х)*L(y(x),x):
Для первого члена:
=
Повторно применяя формулу интегрирования по частям:
В результате получим:
Для второчо члена:
Для третьего:
Дифференциируя обе части этих выражений, для первого члена:
Для второго:
Для третьего:
Подставляя все это в z(х)*L(y(x),x), получим:
Введем многочлен φ(y(x),z(x)), равный:
Введем многочлен M(z(x),x), равный:
Получим:
Или:
здесь многочлен φ(y(x),z(x)) называется билинейной формой, а многочлен M(z(x),x), называется сопряженный многочлен к многочлену L(y(x),x). И соответственно уравнение M(z(x),x) = 0: сопряженное к уравнению L(y(x),x) = 0.
Самосопряженным уравнением, называется такое уравнение, у которого сопряженное уравнение имеет одинаковые решения с сопрягаемым.
Найдем условие самосопряженности, имеем:
Для того, чтобы уравнения имели одинаковые решения, их коэффициенты должы быть пропорциональны, но так-как в наших уравнениях первый коэффициент равен а0(х), то и остальные должны быть равны, чтобы соблюдалось свойство пропорциональности коэффициентов.
Тоесть M(y(x),x) = L(y(x),x):
a0(x), при y'',сокрашается:
Для коэффициентов при y, имеем:
Для коэффициентов при y', имеем:
Из обоих уравнений следует тождество(условие самосопряженности):
Интересно, что умножая первоналальный многочлен L(y(x), x), на специально выбранный многочлен ρ(x), можно представить его в самосопряженной форме. Умножим почленно на ρ(x):
Применяя условие самосопряженности, для новых коэффициентов, имеем:
Найдем значение ρ(x), на которов надо умножить уравнение, для перехода к самосопряженной форме:
Сучествует ли такой многочлен(множитель) z(х), что умножая его на многочлен L(y(x),x), можно получить производную от дифференциального многочлена (первого порядка): φ(y(x),z(x))
Такой множитель сушествует, воспользуемся формулой интегрирования по частям, для каждого члена z(х)*L(y(x),x):
Для первого члена:
=
Повторно применяя формулу интегрирования по частям:
В результате получим:
Для второчо члена:
Для третьего:
Дифференциируя обе части этих выражений, для первого члена:
Для второго:
Для третьего:
Подставляя все это в z(х)*L(y(x),x), получим:
Введем многочлен φ(y(x),z(x)), равный:
Введем многочлен M(z(x),x), равный:
Получим:
Или:
здесь многочлен φ(y(x),z(x)) называется билинейной формой, а многочлен M(z(x),x), называется сопряженный многочлен к многочлену L(y(x),x). И соответственно уравнение M(z(x),x) = 0: сопряженное к уравнению L(y(x),x) = 0.
Самосопряженным уравнением, называется такое уравнение, у которого сопряженное уравнение имеет одинаковые решения с сопрягаемым.
Найдем условие самосопряженности, имеем:
Для того, чтобы уравнения имели одинаковые решения, их коэффициенты должы быть пропорциональны, но так-как в наших уравнениях первый коэффициент равен а0(х), то и остальные должны быть равны, чтобы соблюдалось свойство пропорциональности коэффициентов.
Тоесть M(y(x),x) = L(y(x),x):
a0(x), при y'',сокрашается:
Для коэффициентов при y, имеем:
Для коэффициентов при y', имеем:
Из обоих уравнений следует тождество(условие самосопряженности):
Интересно, что умножая первоналальный многочлен L(y(x), x), на специально выбранный многочлен ρ(x), можно представить его в самосопряженной форме. Умножим почленно на ρ(x):
Применяя условие самосопряженности, для новых коэффициентов, имеем:
Найдем значение ρ(x), на которов надо умножить уравнение, для перехода к самосопряженной форме: