Немножко подробнее о том, что было сказано раньше (1)
Оригинал взят у navi03 в Немножко подробнее о том, что было сказано раньше (1)
Число Ф («фи») - число золотого сечения, или золотой пропорции.
Чтобы описать это число используют разные методы. Определить его точно в нашей системе счисления невозможно, потому что это число иррациональное, а значит, оно может быть выражено только через другие числа, рациональные или иррациональные числа, т.е. только приблизительно.
Число Ф может быть представлено, как решение квадратного уравнения, через тригонометрические функции, в виде бесконечной цепочки квадратных корней, в виде бесконечной цепной дроби....
Особенно мне нравится вот такое красивое представление:
Математики говорят, что φ является одним из самых «трудных» иррациональных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. То есть трудно его представить через рациональные. Да, это заметно....
Я обещаю, что не буду использовать подобных страшных выражений.
Только самые простые и понятные слова.
Поэтому Ф мы будем представлять в виде пропорции
Мне удобнее обозначать отрезок "а" как АВ, а отрезок "в" как ВС, ну да ладно...
Именно такая "золотая" пропорция лежит в основе всего сущего, как считал Пифагор. Так я думаю.
Я думаю, что он так считал, и я думаю, что так оно и есть.
Он разработал целую музыкальную теорию, которая, как говорят, называлась Лямбдома, поскольку схематически изображалась диаграммой, имеющей сходство с греческой буквой Лямбда. Однако, сведения о том, какая именно это была система, до нас не дошли. То, что изображено на фреске Рафаэля, это основы некоего музыкального строя, который знали люди после Пифагора. И это, скорее всего, не система Пифагора, или не совсем она, а результаты безуспешных попыток его учеников восстановить систему мастера. Я говорю «не совсем она» потому, что я думаю, что тетраксис в музыкальной системе Пифагора присутствовал, и натуральные числа возможно тоже. У меня возникло смелое предположение, что натуральные числа у Пифагора - это возможно некий ключ для обозначения других чисел в некой другой системе счисления…
Ведь известно, что деления чисел на иррациональные и рациональные - это условное деление. Все эти числа в природе совершенно одинаковые, такими (рациональными и пр.) они становятся только относительно конкретной системы. Мы можем также принять систему, в которой Пи - натуральное число, 3, например, а Ф - единица. То есть, всё относительно, измерять можно как дюймами, так и сантиметрами, всё зависит от того, какой принять масштаб, можно принять за масштаб 1, а можно число Пи….
Звуки в природе могут иметь частоту любую. Если мы говорим, что у звука частота выражена целым числом - то мы подразумеваем, что это такая-то величина относительно определённой числовой шкалы. Ля - 440 Гц - это тоже условная величина, в природе нет ни герц, ни сантиметров, все единицы относительные единицы измерения, действующие только в одной системе счисления, а систему можно придумать любую.
Мы можем петь в ванной в условном до-мажоре, а потом выйти и измерить прибором ноту ДО, от которой мы пели, и вполне может оказаться, что прибор покажет частоту, выраженную бесконечной дробью.
В природе нет частот рациональных и иррациональных, такими они становятся в нашей оценке относительно некой системы счисления, которую мы предполагаем.
******
Почему мы воспринимаем некие звуковые сочетания как гармоничные? Потому что в нашем мозгу есть матрица, которая безошибочно распознаёт гармоничное и негармоничное. В нас заложено ощущение золотой пропорции, потому что мы сам построены на ней, как и всё сущее в природе, как и предполагал Пифагор.
Именно поэтому мы воспринимаем, как гармоничные, архитектурные построения, в которых используется правило золотой пропорции, и мы не можем объяснить, почему, мозг не высчитывает число Ф = 1,6……. , мы просто это чувствуем.
Мы чувствуем совпадения одинаковых звуков, мы можем на слух различать звуки по высоте, можем, правда? Почему? Потому что так устроен наш мозг. И вот в нашей системе восприятия есть некая матрица, построенная по принципу золотого сечения - и когда он на неё накладывается нечто, имеющее подобное строение, она реагирует ощущением красоты и гармонии.
Именно поэтому нам важно иметь природные чистые интервалы в музыкальной системе, потому что, имея систему приблизительную, мозг мы обманываем, конечно, но если мы услышим музыку, какой она может быть в чистом, кристально чистом звучании природных обертонов, мы не сможем больше слушать равномерно-темперированный строй фортепиано, и такая природная натуральная музыка действительно будет иметь необыкновенные свойства, в том числе и исцеляющие (лечение такой музыкой практиковал, как известно, Пифагор)…
Но нечего волноваться, это случиться очень нескоро.
Любой, прозвучавший в природе звук имеет основной тон и обертоны - бесконечный набор обертонов.
Предположим, что мы имеем звук А.
Тогда «Системой звука А» (далее «Система А») будет система вида АBCDEFG…, где
А - исходный (основной) звук, а B, C, D, E, F, G… - его обертоны, которых есть бесконечное множество.
У звука А есть некая частота А, у звука В - частота В.
Если представить числовые значения частот обертонов на прямой, то зависимость расстояний между значениями будет такая, что АС:АВ = АВ:ВС, то есть зависимость определяется золотой пропорцией. Количество обертонов бесконечное, и дальше мы имеем такую же зависимость между всеми последующими значениями.
Система А - это система одного звука. Если от звука В построить систему В, то в системах А и В будут общими только два звука - звуки А и В, ни один обертон из Системы А не совпадёт ни с одним обертонной системы В.
В одномерном пространстве функция Системы А представляет собой множество точек, лежащих на границах отрезков АB, ВС, CD и т.д. Не прямую!, а множество точек, удалённых друг от друга на постоянно уменьшающемся расстоянии. Если бы это была прямая, мы могли накладывать разные системы друг на друга, но это не прамая.
В двухмерном пространстве Система А - это множество точек, лежащих на искривлённым векторе, в трёхмерном - множество точек на искривлённом векторе, вид графика функции внешне сравним с видом ростка фасоли, который вьётся вокруг опоры, начало ростка - это первая точка графика, все точки роста на стебле фасоли - это и будут точки графика функции Системы А.
Мы обычно рассматриваем не объёмный график функции, а его проекцию на прямой, учитывая, таким образом, только один параметр Х (частоту обертонов), в то время как на самом деле у функции их несколько, и рассмотрение на прямой является упрощённым, и уже самом по себе неполным, условным. Поэтому в одномерном пространстве нам трудно представить, почему множество точек Системы А может иметь пересечение с множеством точек произвольной Системы Х только в одной точке, если точка Х принадлежит Системе А, или вообще не иметь общих точек (ни одной). В трёхмерном пространстве это видно гораздо нагляднее, а в четырехмерном ещё более наглядно.
Как это выглядит в нотной записи.
На рисунке мы видим условный звук ДО (основной тон) и его обертоны (гармоники).
Стрелочками показано, что настоящее звучание обертона несколько отличается от звука в нашей системе, если стрелка вниз - звук на самом деле звучит немного ниже, если стрелка вверх - немного выше того значения, которое приписывается этой ноте в нашей системе.
На этой схеме Система А представлена не в виде АBCDEFG…, а в виде 01234567….., где 0 - основной тон, а 1,2,3,4,5… - его обертоны.
Мы видим, что от 0 до обертона 1 - октава (I и VIII тон в ладу), от обертона 1 до обертона 2 - квинта (V тон), от 2 до 3 - кварта, от 3 до 4 - терция,…
На звуках 0, 1, 2, 3 - построена основа звукоряда, то, что у Пифагора на табличке (ДО-ФА-СОЛЬ-ДО).
На обертонах 3, 4 и 5 - построено мажорное трезвучие,
На звуках 3, 4, 5 и 6 - септаккорд.
Как видим, все музыкальные построения базируются на Системе А, и основа звукоряда и основные интервалы и основные аккорды. Все звуки (вернее, отношения между ними) взяты оттуда.
Поэтому
Только те звуки, которые входят в одну Систему А (основной тон А и его собственные обертоны) могут гармонично сочетаться между собой.
*************
Ещё важно сказать, что в Системе А все интервалы представлены только один раз: есть только одна такого рода октава, одна такого рода квинта, терция1, терция2 и терция3 (все три разные), и несколько секунд, которые имеют разный размер и множество более мелких интервалов.
Но и в упрощённом представлении на прямой видно только, что все отрезки постепенно уменьшаются. То, что двух одинаковых отрезков нет, имеет математическое подтверждение (в данном посте не излагается), а это значит, что в натуральном звукоряде мы можем использовать каждый интервал и аккорд только по одному разу.
Даже те звуки, которые в данной нотной записи означают как будто одинаковые октавы, - от 0 до 1, от 1 до 3 - (нижними числами, на верхние числа не смотрите), на самом деле являются разными интервалами, нотами они обозначены приблизительно, нужно помнить, что это схематическое представление, условное, приближенное. Октавы от 0 до 1 и от 1 до 3 звучат по-разному. Для построения звукоряда используется, скорее всего, октава от 1 до 3, поскольку именно она содержит внутри себя квинту - обертон 2.
Почему нельзя наложить разные тональности (разные системы) одна на другую?
Почему 12 квинт никогда не могут уместиться в 7 октавах?
Квинта в системе А находится между 1 и 2 обертонами, и только там. Так же и в любой другой системе она будет находиться между 1-м и 2-м обертонами. Не важно, от какого звука построена система. То же касается и октавы. Она всегда между 1 и 3 обертонами. Ни в каком другом месте октавы такого же размера в системе нет, есть множество других тонов, на которых построены другие интервалы, но все они будут иметь совершенно другой размер, (более подробно я надеюсь написать попозже)
Если мы построим октаву от звука В, мы уже будем иметь Систему В, и квинта в этой системе будет тоже только одна. Причём гармонично с октавой из Системы В может звучать только квинта из системы В, и никакая другая, поскольку гармонично между собой могут звучать интервалы, принадлежащие одной системе.
Именно по этой причине, квинты, построенные последовательно одна после другой, дают нам такое количество разных систем, какое количество квинт мы построим. Таким же образом построенные последовательно одна за другой октавы, дадут нам количество систем по количеству октав.
Думаю, что ситуация понемногу начинает проясняться…
Или наоборот, всё ещё сильнее запутывается?
Число Ф («фи») - число золотого сечения, или золотой пропорции.
Чтобы описать это число используют разные методы. Определить его точно в нашей системе счисления невозможно, потому что это число иррациональное, а значит, оно может быть выражено только через другие числа, рациональные или иррациональные числа, т.е. только приблизительно.
Число Ф может быть представлено, как решение квадратного уравнения, через тригонометрические функции, в виде бесконечной цепочки квадратных корней, в виде бесконечной цепной дроби....
Особенно мне нравится вот такое красивое представление:
Математики говорят, что φ является одним из самых «трудных» иррациональных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. То есть трудно его представить через рациональные. Да, это заметно....
Я обещаю, что не буду использовать подобных страшных выражений.
Только самые простые и понятные слова.
Поэтому Ф мы будем представлять в виде пропорции
Мне удобнее обозначать отрезок "а" как АВ, а отрезок "в" как ВС, ну да ладно...
Именно такая "золотая" пропорция лежит в основе всего сущего, как считал Пифагор. Так я думаю.
Я думаю, что он так считал, и я думаю, что так оно и есть.
Он разработал целую музыкальную теорию, которая, как говорят, называлась Лямбдома, поскольку схематически изображалась диаграммой, имеющей сходство с греческой буквой Лямбда. Однако, сведения о том, какая именно это была система, до нас не дошли. То, что изображено на фреске Рафаэля, это основы некоего музыкального строя, который знали люди после Пифагора. И это, скорее всего, не система Пифагора, или не совсем она, а результаты безуспешных попыток его учеников восстановить систему мастера. Я говорю «не совсем она» потому, что я думаю, что тетраксис в музыкальной системе Пифагора присутствовал, и натуральные числа возможно тоже. У меня возникло смелое предположение, что натуральные числа у Пифагора - это возможно некий ключ для обозначения других чисел в некой другой системе счисления…
Ведь известно, что деления чисел на иррациональные и рациональные - это условное деление. Все эти числа в природе совершенно одинаковые, такими (рациональными и пр.) они становятся только относительно конкретной системы. Мы можем также принять систему, в которой Пи - натуральное число, 3, например, а Ф - единица. То есть, всё относительно, измерять можно как дюймами, так и сантиметрами, всё зависит от того, какой принять масштаб, можно принять за масштаб 1, а можно число Пи….
Звуки в природе могут иметь частоту любую. Если мы говорим, что у звука частота выражена целым числом - то мы подразумеваем, что это такая-то величина относительно определённой числовой шкалы. Ля - 440 Гц - это тоже условная величина, в природе нет ни герц, ни сантиметров, все единицы относительные единицы измерения, действующие только в одной системе счисления, а систему можно придумать любую.
Мы можем петь в ванной в условном до-мажоре, а потом выйти и измерить прибором ноту ДО, от которой мы пели, и вполне может оказаться, что прибор покажет частоту, выраженную бесконечной дробью.
В природе нет частот рациональных и иррациональных, такими они становятся в нашей оценке относительно некой системы счисления, которую мы предполагаем.
******
Почему мы воспринимаем некие звуковые сочетания как гармоничные? Потому что в нашем мозгу есть матрица, которая безошибочно распознаёт гармоничное и негармоничное. В нас заложено ощущение золотой пропорции, потому что мы сам построены на ней, как и всё сущее в природе, как и предполагал Пифагор.
Именно поэтому мы воспринимаем, как гармоничные, архитектурные построения, в которых используется правило золотой пропорции, и мы не можем объяснить, почему, мозг не высчитывает число Ф = 1,6……. , мы просто это чувствуем.
Мы чувствуем совпадения одинаковых звуков, мы можем на слух различать звуки по высоте, можем, правда? Почему? Потому что так устроен наш мозг. И вот в нашей системе восприятия есть некая матрица, построенная по принципу золотого сечения - и когда он на неё накладывается нечто, имеющее подобное строение, она реагирует ощущением красоты и гармонии.
Именно поэтому нам важно иметь природные чистые интервалы в музыкальной системе, потому что, имея систему приблизительную, мозг мы обманываем, конечно, но если мы услышим музыку, какой она может быть в чистом, кристально чистом звучании природных обертонов, мы не сможем больше слушать равномерно-темперированный строй фортепиано, и такая природная натуральная музыка действительно будет иметь необыкновенные свойства, в том числе и исцеляющие (лечение такой музыкой практиковал, как известно, Пифагор)…
Но нечего волноваться, это случиться очень нескоро.
Любой, прозвучавший в природе звук имеет основной тон и обертоны - бесконечный набор обертонов.
Предположим, что мы имеем звук А.
Тогда «Системой звука А» (далее «Система А») будет система вида АBCDEFG…, где
А - исходный (основной) звук, а B, C, D, E, F, G… - его обертоны, которых есть бесконечное множество.
У звука А есть некая частота А, у звука В - частота В.
Если представить числовые значения частот обертонов на прямой, то зависимость расстояний между значениями будет такая, что АС:АВ = АВ:ВС, то есть зависимость определяется золотой пропорцией. Количество обертонов бесконечное, и дальше мы имеем такую же зависимость между всеми последующими значениями.
Система А - это система одного звука. Если от звука В построить систему В, то в системах А и В будут общими только два звука - звуки А и В, ни один обертон из Системы А не совпадёт ни с одним обертонной системы В.
В одномерном пространстве функция Системы А представляет собой множество точек, лежащих на границах отрезков АB, ВС, CD и т.д. Не прямую!, а множество точек, удалённых друг от друга на постоянно уменьшающемся расстоянии. Если бы это была прямая, мы могли накладывать разные системы друг на друга, но это не прамая.
В двухмерном пространстве Система А - это множество точек, лежащих на искривлённым векторе, в трёхмерном - множество точек на искривлённом векторе, вид графика функции внешне сравним с видом ростка фасоли, который вьётся вокруг опоры, начало ростка - это первая точка графика, все точки роста на стебле фасоли - это и будут точки графика функции Системы А.
Мы обычно рассматриваем не объёмный график функции, а его проекцию на прямой, учитывая, таким образом, только один параметр Х (частоту обертонов), в то время как на самом деле у функции их несколько, и рассмотрение на прямой является упрощённым, и уже самом по себе неполным, условным. Поэтому в одномерном пространстве нам трудно представить, почему множество точек Системы А может иметь пересечение с множеством точек произвольной Системы Х только в одной точке, если точка Х принадлежит Системе А, или вообще не иметь общих точек (ни одной). В трёхмерном пространстве это видно гораздо нагляднее, а в четырехмерном ещё более наглядно.
Как это выглядит в нотной записи.
На рисунке мы видим условный звук ДО (основной тон) и его обертоны (гармоники).
Стрелочками показано, что настоящее звучание обертона несколько отличается от звука в нашей системе, если стрелка вниз - звук на самом деле звучит немного ниже, если стрелка вверх - немного выше того значения, которое приписывается этой ноте в нашей системе.
На этой схеме Система А представлена не в виде АBCDEFG…, а в виде 01234567….., где 0 - основной тон, а 1,2,3,4,5… - его обертоны.
Мы видим, что от 0 до обертона 1 - октава (I и VIII тон в ладу), от обертона 1 до обертона 2 - квинта (V тон), от 2 до 3 - кварта, от 3 до 4 - терция,…
На звуках 0, 1, 2, 3 - построена основа звукоряда, то, что у Пифагора на табличке (ДО-ФА-СОЛЬ-ДО).
На обертонах 3, 4 и 5 - построено мажорное трезвучие,
На звуках 3, 4, 5 и 6 - септаккорд.
Как видим, все музыкальные построения базируются на Системе А, и основа звукоряда и основные интервалы и основные аккорды. Все звуки (вернее, отношения между ними) взяты оттуда.
Поэтому
Только те звуки, которые входят в одну Систему А (основной тон А и его собственные обертоны) могут гармонично сочетаться между собой.
*************
Ещё важно сказать, что в Системе А все интервалы представлены только один раз: есть только одна такого рода октава, одна такого рода квинта, терция1, терция2 и терция3 (все три разные), и несколько секунд, которые имеют разный размер и множество более мелких интервалов.
Но и в упрощённом представлении на прямой видно только, что все отрезки постепенно уменьшаются. То, что двух одинаковых отрезков нет, имеет математическое подтверждение (в данном посте не излагается), а это значит, что в натуральном звукоряде мы можем использовать каждый интервал и аккорд только по одному разу.
Даже те звуки, которые в данной нотной записи означают как будто одинаковые октавы, - от 0 до 1, от 1 до 3 - (нижними числами, на верхние числа не смотрите), на самом деле являются разными интервалами, нотами они обозначены приблизительно, нужно помнить, что это схематическое представление, условное, приближенное. Октавы от 0 до 1 и от 1 до 3 звучат по-разному. Для построения звукоряда используется, скорее всего, октава от 1 до 3, поскольку именно она содержит внутри себя квинту - обертон 2.
Почему нельзя наложить разные тональности (разные системы) одна на другую?
Почему 12 квинт никогда не могут уместиться в 7 октавах?
Квинта в системе А находится между 1 и 2 обертонами, и только там. Так же и в любой другой системе она будет находиться между 1-м и 2-м обертонами. Не важно, от какого звука построена система. То же касается и октавы. Она всегда между 1 и 3 обертонами. Ни в каком другом месте октавы такого же размера в системе нет, есть множество других тонов, на которых построены другие интервалы, но все они будут иметь совершенно другой размер, (более подробно я надеюсь написать попозже)
Если мы построим октаву от звука В, мы уже будем иметь Систему В, и квинта в этой системе будет тоже только одна. Причём гармонично с октавой из Системы В может звучать только квинта из системы В, и никакая другая, поскольку гармонично между собой могут звучать интервалы, принадлежащие одной системе.
Именно по этой причине, квинты, построенные последовательно одна после другой, дают нам такое количество разных систем, какое количество квинт мы построим. Таким же образом построенные последовательно одна за другой октавы, дадут нам количество систем по количеству октав.
Думаю, что ситуация понемногу начинает проясняться…
Или наоборот, всё ещё сильнее запутывается?