Баня
баня
ба́ня русск.-цслав., с XI в.; см. Срезн. III, Доп. 7. Ср. укр. ба́ня - то же, ст.-слав. баньскъ (Син. Пс.), сербохорв. ба̏ња (с XIV в.) - то же, болг. ба́ням "мою". Сюда же следует отнести вышеупомянутые слова (см. ба́нка) со знач. "банка, сосуд, медицинская банка".
Словарь русского языка XI-XVII вв. М., Академия Наук, 1975, БАНЯ
БАЙНА, БАЙНЯ. Баня. «Поставити изба трех сажень, да клеть, да БАЙНЮ …» 1599 г. «А в БАЙНЫ де мы были в субботы ввечору у Осипа паритсе», 1651.
Созвучно фонетически греческому термину (b)valane;o - баня (русск. (Б)ВАЛАНИО, разные способы чтения).
Что-то мне слово валания созвучно валянию на полатях.
Впрочем на Руси и мыльни были.