Давно мучался этим вопросом, но руки никак не доходили посмотреть это в интрнете.) Хотя в итоге нашёл несколько версий, каждая из которых до конца так всё и не объясняет.
1) Существует заблуждение, что с точки зрения правописания русского языка фраза писалась с ошибкой. На самом деле слова "запасный" (например, в сочетании запасный путь) и "запасной" употребимы в русском языке.
Запасный выход - аварийный выход. Выход, которым пользуются в случаях крайней необходимости. Запасной выход - не главный, не парадный вход/выход. Дополнительный выход, служебный выход, черный ход, тайный(потайной) ход.
Запас - сбережение или заготовление чего-либо на будущее или с избытком. В данном случае - выход заготовлен, им запаслись. Запасным может быть запасной выход. Как и запасной - запасным"
по-идее "запасный" - это более устаревший вариант. сейчас часто встречаю и "запасной выход"
2) "Форма запасн'ой, вошедшая в активную речевую практику в 20-30-х гг. ХХ в., уже в Словаре Ушакова признается единственно нормативной (вариант зап'асный оценивается этим словарем как устаревший). Однако в некоторых терминологических сочетаниях (запасный выход, запасный путь, запасный полк) вариант с ударением на основе держался еще до конца ХХ столетия. Сегодня большинство словарей признают и для этих сочетаний варианты запасной и запасный одинаково правильными, хотя некоторые продолжают настаивать на обязательности употребления в сочетании со словом выход только прилагательного запасный."
И самое забавное.
3) По известной легенде венгерские изготовители автобусов марки «Икарус» написали слово запасной как запасный. Ошибка прошла незамеченной, а вскоре ее скопировали и советские машиностроительные учреждения.
Существует и другая версия, что эту надпись впервые писали в автобусах ЛАЗ, и в оригинале на украинском языке она выглядела как «Запасний вихiд». Слово «вихiд» поправлялось на «выход», первое же слово по ошибке или умыслу оставалось неизменным (только украинская «и» менялась на русскую «ы»).