В каком смысле "Е" является позитивным свойством?
Размышлял над Гёделевским онтологическим доказательством и над его изящным обобщением у eidograph: «если гипостазирование из какой-либо сущности - добро, то гипостазирование самого добра - истинно».
Некоторым кажется, что вводя аксиому P(E), Гёдель совершает грубую и наивную ошибку, тупо занося существование в список совершенств. Но это не так.
Гёдель говорит не просто о существовании (такого предиката у него вообще нет), а о т.н. "необходимом существовании", которое я бы описал как свойство "автоэкземплификации".
D3. E(x) ↔ ∀F(F ess x → □∃xF(x))
Существование (Е) присуще предмету х, когда все существенные свойства х влекут, что необходимо найдется предмет, обладающий этими свойствами.
В качестве примера мне ничего лучшего в голову не пришло, как просто взять свойство "быть тождественным собственной самотождественности":
D4. A(x) ↔ х=(х=х)
Поскольку любой существующий объект с необходимостью тождественен самому себе, "быть тождественным собственной самотождественности" означает существовать с необходимостью. Таким образом, свойство А с необходимостью будет экземплифицировано в любом выбранном нами (непустом) универсуме по крайней мере одним объектом.
Прямо скажем, свойство А присуще далеко не всем объектам - но уж тем, которым присуще, оно присуще существенным образом:
D2. F ess x ↔ F(x) & ∀H[H(x) → □∀x(H(x) → F(x))]
Значит, мы видим, как из сущности объекта с необходимостью (т.е. существенным образом) вытекает его существование. Вот примерно это, мне кажется, Гёдель и имел в виду под "Е". Если только мы можем в языке нашей теории формулировать "автоэкземплифицирующиеся" свойства, то они в логическом плане будут вести себя в точности как свойство Е.
Является ли свойство Е позитивным? В аксиомах Гёделя всё не только не противоречит такому утверждению, но и интуитивно подталкивает к нему. В самом деле, свойство Е является непротиворечивым. Оно если присуще объекту, то всегда с необходимостью. И из него никогда не вытекает с необходимость отрицание какого-либо свойства. (Если объект обладает свойством Е, из этого не следует с необходимостью, что он не синий или не зеленый. То есть отсутствие этих свойств вполне может следовать из Е, но никогда не следует с необходимостью.)
А дальше все как по маслу. Если объект, обладающий все позитивными свойствами, возможен, то он необходим. Но он возможен, так как не содержит в себе противоречия. Значит, он необходим. И мы убеждаемся в правоте Эйдографа: если свойство автоэкземплификации позитивно, то автоэкземплификация свойства "обладать всеми позитивными свойствами" гарантирована.
Но что если пошалить и объявить позитивным противоположное свойство - свойство "антиавтоэкземлификации"? Например, свойство "быть тождественным собственной несамотождественности"?
D5. B(x) ↔ х=(х≠х)
Это свойство будет гарантированно пустым в любом выбранном нами (непустом) универсуме. И значит, обладание этим свойством логически несовместимо с обладанием какими-либо свойствами вообще, а это нарушает аксиому А5. Правда, если сам универсум действительно был бы пуст, то В оказалось бы единственным существенным свойством в нем.
Не получается ли, что существование Бога у Геделя связано с предпосылкой непустоты универсума? Т.е. если бы не было ничего, то и существование Бога никогда не доказалось бы? Впрочем, это никого бы не расстроило, ведь некому было бы расстраиваться ...
Некоторым кажется, что вводя аксиому P(E), Гёдель совершает грубую и наивную ошибку, тупо занося существование в список совершенств. Но это не так.
Гёдель говорит не просто о существовании (такого предиката у него вообще нет), а о т.н. "необходимом существовании", которое я бы описал как свойство "автоэкземплификации".
D3. E(x) ↔ ∀F(F ess x → □∃xF(x))
Существование (Е) присуще предмету х, когда все существенные свойства х влекут, что необходимо найдется предмет, обладающий этими свойствами.
В качестве примера мне ничего лучшего в голову не пришло, как просто взять свойство "быть тождественным собственной самотождественности":
D4. A(x) ↔ х=(х=х)
Поскольку любой существующий объект с необходимостью тождественен самому себе, "быть тождественным собственной самотождественности" означает существовать с необходимостью. Таким образом, свойство А с необходимостью будет экземплифицировано в любом выбранном нами (непустом) универсуме по крайней мере одним объектом.
Прямо скажем, свойство А присуще далеко не всем объектам - но уж тем, которым присуще, оно присуще существенным образом:
D2. F ess x ↔ F(x) & ∀H[H(x) → □∀x(H(x) → F(x))]
Значит, мы видим, как из сущности объекта с необходимостью (т.е. существенным образом) вытекает его существование. Вот примерно это, мне кажется, Гёдель и имел в виду под "Е". Если только мы можем в языке нашей теории формулировать "автоэкземплифицирующиеся" свойства, то они в логическом плане будут вести себя в точности как свойство Е.
Является ли свойство Е позитивным? В аксиомах Гёделя всё не только не противоречит такому утверждению, но и интуитивно подталкивает к нему. В самом деле, свойство Е является непротиворечивым. Оно если присуще объекту, то всегда с необходимостью. И из него никогда не вытекает с необходимость отрицание какого-либо свойства. (Если объект обладает свойством Е, из этого не следует с необходимостью, что он не синий или не зеленый. То есть отсутствие этих свойств вполне может следовать из Е, но никогда не следует с необходимостью.)
А дальше все как по маслу. Если объект, обладающий все позитивными свойствами, возможен, то он необходим. Но он возможен, так как не содержит в себе противоречия. Значит, он необходим. И мы убеждаемся в правоте Эйдографа: если свойство автоэкземплификации позитивно, то автоэкземплификация свойства "обладать всеми позитивными свойствами" гарантирована.
Но что если пошалить и объявить позитивным противоположное свойство - свойство "антиавтоэкземлификации"? Например, свойство "быть тождественным собственной несамотождественности"?
D5. B(x) ↔ х=(х≠х)
Это свойство будет гарантированно пустым в любом выбранном нами (непустом) универсуме. И значит, обладание этим свойством логически несовместимо с обладанием какими-либо свойствами вообще, а это нарушает аксиому А5. Правда, если сам универсум действительно был бы пуст, то В оказалось бы единственным существенным свойством в нем.
Не получается ли, что существование Бога у Геделя связано с предпосылкой непустоты универсума? Т.е. если бы не было ничего, то и существование Бога никогда не доказалось бы? Впрочем, это никого бы не расстроило, ведь некому было бы расстраиваться ...