ужас чем занимаются математики
попались мне на глаза аксиомы для операций + и * на вещественной прямой, а так же для неравенств там же и тут же мне пришло в голову что неплохо бы доказать что 0*x=0 и 0<=x*x
аж минуты по 3 на каждое потратил - утратил квалификацию, считай. единственным оправданием мне служит что действия все делались в уме.
итак, доказательства.
xy=x(y+0)=xy+x*0, каждое равенство прямо следует из аксиом, а из xy=xy+x*0 явно следует что x*0=0
для 0 <= x*x чуть сложнее.
пусть x>=0, тогда по аксиоме можно домножить обе части на x, и все хорошо.
пусть x<0, тогда по аксиоме можно добавить к обоим частям -x
-x > 0, теперь можно домножить на -x
-x*(-x) >= 0, по дистрибутивности (-1)*(-1)*x*x >= 0 по дистрибутивности и потому что -1*x = -x (0=x*(-1 + 1)=-1*x+x)
и, как уже доказано в скобках (ну там еще очевидный шажочек про то что обратным к -1 является 1) (-1)*(-1) = 1;
самое забавное что все эти выкрутасы имеют смысл: когда уходишь с вещественной прямой простые и привычные свойства обычно исчезают.
аж минуты по 3 на каждое потратил - утратил квалификацию, считай. единственным оправданием мне служит что действия все делались в уме.
итак, доказательства.
xy=x(y+0)=xy+x*0, каждое равенство прямо следует из аксиом, а из xy=xy+x*0 явно следует что x*0=0
для 0 <= x*x чуть сложнее.
пусть x>=0, тогда по аксиоме можно домножить обе части на x, и все хорошо.
пусть x<0, тогда по аксиоме можно добавить к обоим частям -x
-x > 0, теперь можно домножить на -x
-x*(-x) >= 0, по дистрибутивности (-1)*(-1)*x*x >= 0 по дистрибутивности и потому что -1*x = -x (0=x*(-1 + 1)=-1*x+x)
и, как уже доказано в скобках (ну там еще очевидный шажочек про то что обратным к -1 является 1) (-1)*(-1) = 1;
самое забавное что все эти выкрутасы имеют смысл: когда уходишь с вещественной прямой простые и привычные свойства обычно исчезают.