Теорема Гёделя
Из книги "Пенроуз Большое, малое и человеческий разум" 2004 г.
... Вы можете подумать об общем смысле этого доказательства. Оно ясно демонстрирует, что
математическое понимание и/или интуиция не могут быть закодированы в виде какого-то
вычислительного процесса, в справедливости которого мы можем быть абсолютно уверены.
Мне кажется, что приведенная формулировка наиболее ясным образом определяет сущность
подхода Гёделя-Тьюринга, хотя некоторые придерживаются другой точки зрения.
В этой связи интересно вспомнить, что писали сами эти авторы о полученном ими результате.
Предлагаю вам одну из оценок Тьюринга:
«Другими словами, абсолютно безупречно работающая машина не может обладать интеллектом.
Об этом свидетельствует ряд теорем, которые, однако, ничего не говорят о том, каким уровнем
интеллекта может обладать машина, не претендующая на безошибочность и безупречность работы».
[...]
Мне кажется, что на самом деле Тьюринг верил в то, что человеческий мозг использует алгоритмы,
но эти алгоритмы являются совершенно нерегулярными (именно в этом смысле они неразумны).
Такая ситуация представляется неправдоподобной, поскольку она не только обескураживает, но
и просто не позволяет понять, каким образом можно обсуждать что-то и приходить к каким-то
выводам вообще.
[...]
Рассмотрим далее точку зрения Гёделя, которая в моей схеме относится к D-подходу. Обращаю
ваше внимание на то, что при рассмотрении одних и тех же проблем Тьюринг и Гёдель приходят к
совершенно противоположным выводам. И хотя Гёдель не верит, что математическое вдохновение
можно свести к каким-то вычислительным операциям, он не отказывается от этой возможности
достаточно четко и определенно.
Он говорит:
«С другой стороны, на основе всего доказанного сохраняется возможность существования (и,
может быть, даже эмпирического создания) машины, способной доказывать теоремы. В реальной
жизни такая машина стала бы эквивалентом математической интуиции, однако это невозможно
доказать аналогично тому, как в теории конечных чисел нельзя выводить только правильные
теоремы».
Это высказывание явно намекает на существование «лазейки», позволяющей непосредственно
использовать теорему Гёделя-Тьюринга для опровержения идей вычислимости (или
функционализма). Лазейка заключается том, что математик может пользоваться некоторым
здравым и логичным алгоритмом, не будучи полностью уверен в его разумности. Таким образом,
Гёдель видел лазейку в познавательной части алгоритмов, в то время как Тьюринг выделяет в
алгоритмах именно их разумность.
... Вы можете подумать об общем смысле этого доказательства. Оно ясно демонстрирует, что
математическое понимание и/или интуиция не могут быть закодированы в виде какого-то
вычислительного процесса, в справедливости которого мы можем быть абсолютно уверены.
Мне кажется, что приведенная формулировка наиболее ясным образом определяет сущность
подхода Гёделя-Тьюринга, хотя некоторые придерживаются другой точки зрения.
В этой связи интересно вспомнить, что писали сами эти авторы о полученном ими результате.
Предлагаю вам одну из оценок Тьюринга:
«Другими словами, абсолютно безупречно работающая машина не может обладать интеллектом.
Об этом свидетельствует ряд теорем, которые, однако, ничего не говорят о том, каким уровнем
интеллекта может обладать машина, не претендующая на безошибочность и безупречность работы».
[...]
Мне кажется, что на самом деле Тьюринг верил в то, что человеческий мозг использует алгоритмы,
но эти алгоритмы являются совершенно нерегулярными (именно в этом смысле они неразумны).
Такая ситуация представляется неправдоподобной, поскольку она не только обескураживает, но
и просто не позволяет понять, каким образом можно обсуждать что-то и приходить к каким-то
выводам вообще.
[...]
Рассмотрим далее точку зрения Гёделя, которая в моей схеме относится к D-подходу. Обращаю
ваше внимание на то, что при рассмотрении одних и тех же проблем Тьюринг и Гёдель приходят к
совершенно противоположным выводам. И хотя Гёдель не верит, что математическое вдохновение
можно свести к каким-то вычислительным операциям, он не отказывается от этой возможности
достаточно четко и определенно.
Он говорит:
«С другой стороны, на основе всего доказанного сохраняется возможность существования (и,
может быть, даже эмпирического создания) машины, способной доказывать теоремы. В реальной
жизни такая машина стала бы эквивалентом математической интуиции, однако это невозможно
доказать аналогично тому, как в теории конечных чисел нельзя выводить только правильные
теоремы».
Это высказывание явно намекает на существование «лазейки», позволяющей непосредственно
использовать теорему Гёделя-Тьюринга для опровержения идей вычислимости (или
функционализма). Лазейка заключается том, что математик может пользоваться некоторым
здравым и логичным алгоритмом, не будучи полностью уверен в его разумности. Таким образом,
Гёдель видел лазейку в познавательной части алгоритмов, в то время как Тьюринг выделяет в
алгоритмах именно их разумность.