Немного матана
(сначала во вконтакте написал, но решил себе на память сюда скопировать, пусть будет для архива)
"Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты."
Само преобразование - дискретный случай преобразования Лапласа, то есть ему сто лет в обед. Но практический смысл в решении разностных уравнений (у кого ещё был целый предмет в универе с таким названием?), и чтоб не ручками - основательно понадобился только в обработке сигналов. Как всегда, военные себе радары делали, ничего нового.
Причём, на тему названия я где-то видел легенду, что это в честь одного из двух со-пере-открывателей, Лотфи Заде, американского математика родом из Азербайджанской ССР (там история семьи - отдельная картина маслом, включая кочевую жизнь самого математика, фильм можно снимать). А другие пишут, что, мол, просто так повелось, потому что буква z в формуле прилипла. Хотя с чего прилипла именно она - тоже неясно.
В любом случае, математическая красота мысли здесь состоит в том, что если задача плохо решается в лоб, то возможно, что проблема не в задаче, а в выбранном пространстве решений. И если это пространство преобразовать в другое - то там такая задача может решаться тривиально. Так что, бывает, стоит подумать и поискать подходящее пространство. А конкретный матан тут уже вторичен.
В курсе Model Thinking на Курсере, помнится, эту мысль Скотт Пейдж неплохо иллюстрировал.