לא מדויק

[utnapishti]

Думается, что все, кому это может быть интересно - и так знают.
Но на всякий случай.

Есть очень хороший математический блог на иврите. Называется "לא מדויק", автора зовут Гади Александрович.Большинство записей - очень ясное и интуитивное изложение разных реалий высшей (но не чересчур продвинутой или специальной) математики. Когда я их читаю, у

Comments

[baohe]

Первый же пост про (על כדורים שטוחים וחצאי הרים) показался мне вводящим в заблуждение. Окрестность любой точки многообразия должна быть "топологически похожа" на Евклидово пространство, но при этом она может быть сколь угодно кривой. Кривизной же занимается риманова геометрия. Если из сферы удалить точку, то (как многообразие) оно ничем не будет отличаться от Евклидовой плоскости соответствующей размерности.

[utnapishti]

Я про это всё ничего не знаю, поэтому не могу судить. Что именно вводит в заблуждение? Что не так? Т.е. где там "написано так-то, а на самом деле так-то"?

[baohe]

יש אנשים שאם מביאים להם כדור, נאמר כדור הארץ, מייד מתחילים להגיד שלא! זה שטוח! זה מישור! כי הנה, תראו, אני עומד על הכדור, ואני מסתכל לכל הכיוונים, ולכל אשר אני מסתכל, הכל שטוח! אז זה מישור! לא כדור!

לאנשים הללו קוראים "מתמטיקאים" ומה שהם מתארים פה הוא את המושג של יריעה שהוא אחד המושגים החשובים במתמטיקה. יריעה היא מרחב שיכול להיות מאוד מסובך מבחינת המבנה הגאומטרי שלו (למשל - כדור), אבל באופן מקומי, כשאני נעמד באיזו שהיא נקודה של המרחב ומסתכל מסביבי (אחרי שוידאתי שאני מוריד משקפיים והראייה שלי ממש לא משהו) מה שמסביב נראה לי פחות או יותר כמו מישור ....

Из этих двух параграфов создаётся впечатление, что окрестность любой точки многообразия должна быть плоской, а это совсем не так.

[utnapishti]

Ну так ещё в пределах того, что ты процитировал, написано "נראה לי פחות או יותר כמו מישור".
Вообще же, его записи явно не для тех, кто видит всё это в первый раз, а для тех, кто учил формально, а хочет понять интуитивно.
В данном случае - какая бы ни была кривизна, в достаточно маленькой окрестности manifold будет-таки похож на плоскость, разве не так?

[baohe]

В данном случае - какая бы ни была кривизна, в достаточно маленькой окрестности manifold будет-таки похож на плоскость, разве не так?

Смотря на то, что ты имеешь ввиду под словами "похож на плоскость". Если имеется ввиду "гомеоморфен плоскости", то ты прав. Если же речь идёт о "прямом как плоскость (שטוח)", то - нет. У сферы постоянная кривизна, и какую окрестность точки не бери - кривизна будет одинаковая. С другой стороны, для того, чтобы показать, что сфера это многообразие (manifold), достаточно атласа из двух карт: вся сфера без северного полюса и она же без южного.