Математика: проблема доверия
ivanov_petrov запустил, как всегда, интересную дискуссию о доверии как части научного метода. Меня дернуло ввязаться в дискуссию с boldachev ым о доверии в математике.
Мой оппонент отстаивал следующие тезисы:
Любое математическое высказывание есть высказывание о нем же самом, а не о чем-то внешнем математике, и истинность этого высказывания проверяется там же - не выходя за пределы математики. ... Поэтому философские и математические системы не фальсифицируемы - мы не можем опровергнуть никакую философскую систему, ни опровергнуть доказанную (без ошибок) теорему. Это в отличие от научных систем, которые всегда могут быть подвергнуты сомнению в будущем при обнаружении новых эмпирических данных.
Тут еще можно заметить, что и в математике, и в философии проблема доверия формально выведена за пределы их - в априорные области: в математике в область аксиом, а в философии в область веры в свое истинность мировоззрения.
На что я долго возражал в том духе, что математические гипотезы или факты часто допускают экспериментальную проверку. То есть Теорему Пифагора можно проверить на опыте, и убедиться, что она верна. Точно так же можно убедиться, что Теорема Ферма или гипотеза Римана верна для чисел, достижимых современным компьютерам. То есть некоторые математические факты допускают экспериментальную проверку при помощи примеров и контр-примеров. Кроме того, ошибочные математические факты (например, неправильно доказанные), рано или поздно приведут к противоречию. Это состоит в основе доказательства от противного, что можно считать мысленным экспериментом.
Мой оппонент настаивал, что в математике нет необходимости обязательно проверять теорию на соответствие эксперименту, в отличие от других естественных наук. И хотя я с ним в этом почти согласился, но наличие такой возможности, на мой взгляд, опровергает тезисы моего оппонента.
А целом же в математике доверие связано с доверием к математическому методу, а вовсе не к аксиоматике. Но так как метод используется людьми, то проблема доверия к авторитету полностью не снимается.
Мой оппонент отстаивал следующие тезисы:
Любое математическое высказывание есть высказывание о нем же самом, а не о чем-то внешнем математике, и истинность этого высказывания проверяется там же - не выходя за пределы математики. ... Поэтому философские и математические системы не фальсифицируемы - мы не можем опровергнуть никакую философскую систему, ни опровергнуть доказанную (без ошибок) теорему. Это в отличие от научных систем, которые всегда могут быть подвергнуты сомнению в будущем при обнаружении новых эмпирических данных.
Тут еще можно заметить, что и в математике, и в философии проблема доверия формально выведена за пределы их - в априорные области: в математике в область аксиом, а в философии в область веры в свое истинность мировоззрения.
На что я долго возражал в том духе, что математические гипотезы или факты часто допускают экспериментальную проверку. То есть Теорему Пифагора можно проверить на опыте, и убедиться, что она верна. Точно так же можно убедиться, что Теорема Ферма или гипотеза Римана верна для чисел, достижимых современным компьютерам. То есть некоторые математические факты допускают экспериментальную проверку при помощи примеров и контр-примеров. Кроме того, ошибочные математические факты (например, неправильно доказанные), рано или поздно приведут к противоречию. Это состоит в основе доказательства от противного, что можно считать мысленным экспериментом.
Мой оппонент настаивал, что в математике нет необходимости обязательно проверять теорию на соответствие эксперименту, в отличие от других естественных наук. И хотя я с ним в этом почти согласился, но наличие такой возможности, на мой взгляд, опровергает тезисы моего оппонента.
А целом же в математике доверие связано с доверием к математическому методу, а вовсе не к аксиоматике. Но так как метод используется людьми, то проблема доверия к авторитету полностью не снимается.