37

[ushastyi]

Число 37 обладает многими любопытными свойствами.

Так, умноженное на 3 и на числа, кратные 3 (до 27 включительно), оно дает произведения, изображаемые одной какой-либо цифрой:

37 × 3 = 111;
37 × 6 = 222;
37 × 9 = 333;
37 × 12 = 444;
37 × 15 = 555;
37 × 18 = 666;
37 × 21 = 777;
37 × 24 = 888;
37 × 27 = 999.

Другим интересным свойством числа 37 является то, что некоторые кратные ему числа при круговой перестановке входящих в них цифр дают опять-таки числа, кратные 37. Например:

259 = 7 × 37
592 = 16 × 37
925 = 25 × 37

То же самое верно относительно чисел 185, 518, 851 и чисел 296, 629, 962. Все эти числа состоят из тех же цифр, только переставляемых в круговом порядке, и все они кратны 37.

Это все занимательно, а теперь два нетривиальных свойства.

1. Любое число является суммой не более чем 37 чисел в пятой степени. -- факт указан в википедии без ссылки на источник.

2. Число делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных тройками последовательных цифр данного числа, должна делиться на 37. -- олимпиадная задача

По материалам:
http://mathworld.ru/content/o-chislakh-37-i-41
http://ru.wikipedia.org/wiki/37_(число)
http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=books.mk2.delim2.des&solution=1