Про квантование.
Про квантование…Те, кто изучал «Общую физику» в вузе, несомненно помнят решение задачи 2-х тел, а те кто не помнят, могут освежить в памяти например здесь…
Решением задачи является уравнение:
Где A>0 и ϕ0 константы, а решение определяет тип кривой конического сечения: эллипс, параболу или гиперболу, в зависимости от соотношения А и
. Рассматривая эти решения, мы неявно подразумеваем, что А и
, остаются неизменными в рамках этого рассмотрения. Если вспомнить, что ϕ можно представить в виде двух параметров ϕ= ωt, то данное рассмотрение будет соответствовать случаю, когда вся функция изменяется вслед за изменением t, при неизменном ω. В полярных координатах такое изменение t будет соответствовать движению вдоль единичной кривой, определяемой функцией, вслед за изменением ϕ.
Однако, на это уравнение можно взглянуть и с другой стороны. В случае, когда нас интересуют только стабильные системы, кривые типа параболы или гиперболы можно убрать из рассмотрения, и оставить только эллипсы и окружности, которые в полной мере подчиняются периодическому закону, и параметры которых в основном определяются циклической частотой ω. Любопытно посмотреть, как будет выглядеть это уравнение в зависимости от изменения циклической частотой ω, при неизменном ϕ. В полярных координатах такое изменение ω будет соответствовать движению вдоль радиуса при неизменном ϕ и пересечению всех возможных кривых функции в соответствии с изменением ω.
В связи с этим, уравнение можно переписать в виде:
Функции B(ω) и A(ω) появились в виду того, что эти «коэффициенты» сильно изменяются в зависимости от значения ω. Эти функции имеют вполне рациональный гладкий вид относительно ω и должны однозначно определять значение ω в зависимости от скорости и положения объектов относительно друг друга в какой-то начальный момент времени. Важно отметить, что наличие в уравнении Cos(ωt) обещает нам, что график функции r(ω) не будет гладким, а обязательно будет содержать минимумы и максимумы… Но вслед за экстремумами на графике функции r(ω), точно такие же экстремумы появятся на графике потенциальной энергии U(ω), поскольку она обратно пропорциональна r. Но из опыта известно, что любое тело всегда стремится занимать положение соответствующие минимуму своей потенциальной энергии из всех возможных состояний. И эти минимумы вполне реально вычислить исходя из имеющегося решения задачи движения тела в поле сил притяжения в соответствии с законом обратных квадратов расстояния.
Попробуем вспомнить 10-й класс и проанализировать, где именно будут эти минимумы и максимумы на графике функции
Производная от которой по ω будет:
Поскольку в экстремумах производная от исследуемой функции должна равняться нулю, для их нахождения нужно решить уравнение:
При условии что:
Воспользуемся методом введения вспомогательного угла для решения уравнения вида(посмотреть можно здесь):
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c - коэффициенты; x - неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos
и sin
( здесь
- так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
Для нашего уравнения
Тогда
При условии что:
Тот факт, что у нас получилось трансцендентное уравнение, в котором искомая нами величина стоит и справа и слева, не должен нас смущать. В самом деле, если определить зависимости A(ω) и B(ω), взять от них производные, то искомые значения ω можно вычислить с помощью численных методов без особого труда. Однако нас интересуют общие тенденции, и поэтому мы не будем здесь углубляться в конкретику, а попробуем разобраться с сутью того, что у нас получилось.
Первые два слагаемых в полученном уравнении это арксинусы. Результат действия функции арксинус - некоторый угол. Область значения функции арксинус лежит в пределах:
, значит два первых слагаемых в полученном уравнении дают нам некоторый угол ϕ(ω) значение которого лежит в пределах
.
Перепишем наше уравнение следующим образом:
или
где
и никак не может выйти за пределы диапазона
и в некотором приближении можно считать константой. Значение t так же можно считать константой, пока мы не особо гонимся за точностью… Но, где-то похожее соотношение мы уже видели? Например здесь…
И правда, существует эмпирическая формула для радиусов орбит планет Cолнечной системы вида:
Очень похоже, хотя и перевернуто… ;-)
Но у нас то формула вовсе не эмпирическая, и если задаться целью и определить вид функций B(ω) и A(ω), подставить значения масс, скоростей и расстояний и решить трансцендентное уравнение для нахождения экстремумов функции относительно ω, отобрать из этого ряда решений минимумы и подставить полученные значения в исходное уравнение r(ω), можно получить точное соответствие тому, что наблюдается в реальном распределении планет в Солнечной системе?
Выходит, что принцип квантования по энергиям заложен в сам закон движения тел в силовом поле друг друга, таком как электростатическое, гравитационное и т.д.. Значит «размер не имеет значения» для возникновения квантования по энергиям в замкнутых системах. Квантование присутствует и в большом и в малом, просто в случае малого, ω более линейно изменяется в зависимости от n.
А что же в таком случае увеличивает линейность уравнения
в случае микромира? ИМХО линейность этой функции, а если точнее слабое изменение функции ϕ( ω) при разных n, в случае микромира возникает ввиду неделимости элементарных зарядов и идентичности масс частиц, участвующих во взаимодействиях. Только поэтому стало возможным появление коэффициента пропорциональности связывающего циклическую частоту с энергией, известного как постоянная Планка - h.
Но в законе движения тел в силовом поле друг друга полностью отсутствует механизм, заставляющий тела распределяться по потенциальным минимумам энергии в системе. Вспомните опыт с магнитом и железными опилками из школы. Лежат себе опилки на плотном листе бумаги и продолжают так же лежать, даже когда снизу к листу поднесли мощный магнит. А вот если лист слегка потрясти, опилки тут же начинают распределяться вдоль линий магнитного поля, показывая то, что не видно глазу. Поэтому, чтобы квантование в замкнутых системах проявилось, должен существовать механизм, который эти системы «встряхивает», заставляя тела или частицы, из которых эта замкнутая система состоит, занимать положения соответствующие минимуму их потенциальной энергии в системе. Основным претендентом на должность постоянного «встряхивателя» всех замкнутых систем, я считаю эффект возникающий в результате запаздывания, ввиду конечности скорости распространения полевых взаимодействий между телами и частицами. О чём я писал здесь…
Другого претендента на эту роль, а именно эффект перераспределения энергий между малыми членами замкнутой системы (планетами, электронами) через центральный элемент системы (ядро, звезда) в случае трех и более тел(частиц), из за рассогласования движения центрального тела, ввиду его взаимодействия сразличными малыми членами системы, я исключил из рассмотрения, поскольку существует пример такой системы, в которой указанное рассогласование отсутствует, а квантование в наличии. Эта система - атом водорода.
Кстати на ум сразу приходит простенький эксперимент, который может подтвердить или опровергнуть верность «Специальной теории относительности». Достаточно просто организовать непрерывное наблюдение за спектром поглощения водорода, например, в условиях земной лаборатории, в течении хотя бы года, с видеофиксацией этого спектра. Из за постоянного изменения модуля абсолютной скорости движения точки на поверхности Земли, ввиду её вращения вокруг собственной оси и вокруг Солнца, непременно должны наблюдаться некоторые изменения в спектре поглощения. Вряд ли удастся зафиксировать колебания(смещение) самих линий спектра, хотя и это не исключено, а вот их уширение, сужение, а также появление и пропадание новых линий в этом спектре поглощения, зафиксировать можно. Сопоставив эти возможные изменения в спектре с фактическим положением точки наблюдения в зависимости от времени, можно будет сделать выводы о величине и направлении абсолютной скорости движения Земли и всей Солнечной системы.
Собственно всё это только мысли вслух, которые показывают направления в которых можно было бы двинуться, если отвлечься от некоторых догматов современной науки... А вдруг, там что-то интересное, или что ещё привлекательней, полезное завалялось...
;-)