О математических разговорах с нематематическими детьми
Оригинал взят у dreameranalyst в О математических разговорах с нематематическими детьми.
В 1987 году вышла статья Михаила Михайловича Постникова, очень авторитетного математика и автора нескольких книг, рассчитанных на студентов и относительно широкую математическую общественность. Обычно такие книги пишут люди, испытывающие интерес не только к предмету, как таковому, но и к вопросам его преподавания. Вся статья Постникова была посвящена проблемам образования, причём отнюдь не только математического. Полный текст можно посмотреть здесь http://makarenko-museum.ru/lib/Science/Postnikov/Postnikovs_School.htm, а самая известная цитата выглядит следующим образом
«Сегодня математика занимает пятую часть всей школьной программы. Кто-нибудь скажет мне: зачем? Кто из вас, нематематиков, решал в быту квадратные уравнения? Кто хоть раз воспользовался теоремой о внутренних углах треугольника? Почему же никто не спросит о тех потерях, которые несут одно за другим целые поколения, не имеющие времени изучить медицину, музыку, ремёсла и т.д.? Сколько математики нужно для жизни - столько она и должна занимать детского времени, ни больше, ни меньше».
Мне кажется, что в мысли Постникова есть рациональное зерно, но я бы уточнил её так. Массовое математическое образование должно быть направлено на формирование и развитие навыков математического осмысления реальности.
Что это значит? Ясно, что речь идёт не о знании формул и теорем. Любому человеку приходится сталкиваться с культурными и природными явлениями, выстроенными по жёстким математическим законам. Одно из наиболее характерных явлений такого типа - календарь. В разговорах с детьми 12-15 лет я люблю обсуждать такой вопрос «Какой день недели будет через 500 дней, если сегодня пятница?». Временной интервал может варьироваться в зависимости от возраста ребёнка и ожидаемого уровня его математического развития. Правильный ответ даёт по моим наблюдениям, в лучшем случае, каждый третий школьник. Причём речь вовсе не о дефективных детях или законченных разгильдяях. Совсем недавно мне так и не удалось добраться до правильного ответа в беседе с очень симпатичной восьмиклассницей, которая хорошо организована (сочетает занятия спортом с успешной учёбой в гимназии) и развита интеллектуально (на досуге с огромным удовольствием читает Сэлинджера). Что же мешает детям дать ответ на такой тривиальный и весьма жизненный вопрос? Я выделяю два типа ошибок.
1. Непонимание принципов устройства календаря. Чего только я не услышал в ходе таких разговоров. Например. «Если сегодня среда, то через 7 дней будет опять среда, а через 14 дней будет четверг». «Через 365 дней, т.е. через год, будет опять среда, а как считать дальше я не знаю». «Через 5 дней будет понедельник, а 500 делится на 5. Поэтому через 500 дней опять будет понедельник». Добраться за 10-15 минут разговора с таким ребёнком до истины невозможно. Но можно хотя бы убедить ребёнка в том, что для ответа на такой вопрос надо сначала подумать, а не нести первое, что придёт в голову. Например, напомнив ему, что в этом году Новый год пришёлся на воскресенье, а в прошлом, вроде бы, на какой-то другой день. Многие дети испытывают при этом нечто близкое к шоку: оказывается при ответе на математические вопросы надо думать, а не обязательно подставлять какие-то цифирки вместо каких-то буковок. Как сказала мне одна весьма неглупая девушка, когда я показал ей материалы нашей олимпиады имени Г.П. Кукина «Какая же это математика? Это логика».
2. Неумение делить с остатком. Вообще-то, владение понятием остатка от деления одного натурального числа на другое относится к числе тех самых фундаментальных математических навыков, которые могут и должны формироваться самой жизнью. Мне запал в память рассказ, который я слышал в студенчестве от весьма авторитетного профессора-математика, выросшего в далёкой уральской глубинке. «Когда я пошёл в школу, я не знал, зачем это нужно делать, а чернила даже попытался выпить. Но, как делить с остатком, я знал всегда».
Как отличить первый случай от второго? Очень просто. Надо поинтересоваться, а какой день недели будет через 10 суток, 20 суток, 50 суток? Если ответы на эти вопросы после короткого раздумья даются верные, то ставить нужно именно второй диагноз. Ясно, что он менее опасен. С упомянутой выше гимназисткой дело обстояло именно так, и я сохраняю веру в её нормальное интеллектуальное развитие.
Как же должна быть построена программа изучения математики, направленная не на запоминание формул и теорем, а на математические стороны реальной жизни. У меня нет ответа на этот вопрос. Но думать об этом нужно. В противном случае мы скоро получим поколение, которое, возможно, будет знать какие-то формулы, но не будет понимать, что по прямой идти обычно получается быстрее, чем в обход.
В 1987 году вышла статья Михаила Михайловича Постникова, очень авторитетного математика и автора нескольких книг, рассчитанных на студентов и относительно широкую математическую общественность. Обычно такие книги пишут люди, испытывающие интерес не только к предмету, как таковому, но и к вопросам его преподавания. Вся статья Постникова была посвящена проблемам образования, причём отнюдь не только математического. Полный текст можно посмотреть здесь http://makarenko-museum.ru/lib/Science/Postnikov/Postnikovs_School.htm, а самая известная цитата выглядит следующим образом
«Сегодня математика занимает пятую часть всей школьной программы. Кто-нибудь скажет мне: зачем? Кто из вас, нематематиков, решал в быту квадратные уравнения? Кто хоть раз воспользовался теоремой о внутренних углах треугольника? Почему же никто не спросит о тех потерях, которые несут одно за другим целые поколения, не имеющие времени изучить медицину, музыку, ремёсла и т.д.? Сколько математики нужно для жизни - столько она и должна занимать детского времени, ни больше, ни меньше».
Мне кажется, что в мысли Постникова есть рациональное зерно, но я бы уточнил её так. Массовое математическое образование должно быть направлено на формирование и развитие навыков математического осмысления реальности.
Что это значит? Ясно, что речь идёт не о знании формул и теорем. Любому человеку приходится сталкиваться с культурными и природными явлениями, выстроенными по жёстким математическим законам. Одно из наиболее характерных явлений такого типа - календарь. В разговорах с детьми 12-15 лет я люблю обсуждать такой вопрос «Какой день недели будет через 500 дней, если сегодня пятница?». Временной интервал может варьироваться в зависимости от возраста ребёнка и ожидаемого уровня его математического развития. Правильный ответ даёт по моим наблюдениям, в лучшем случае, каждый третий школьник. Причём речь вовсе не о дефективных детях или законченных разгильдяях. Совсем недавно мне так и не удалось добраться до правильного ответа в беседе с очень симпатичной восьмиклассницей, которая хорошо организована (сочетает занятия спортом с успешной учёбой в гимназии) и развита интеллектуально (на досуге с огромным удовольствием читает Сэлинджера). Что же мешает детям дать ответ на такой тривиальный и весьма жизненный вопрос? Я выделяю два типа ошибок.
1. Непонимание принципов устройства календаря. Чего только я не услышал в ходе таких разговоров. Например. «Если сегодня среда, то через 7 дней будет опять среда, а через 14 дней будет четверг». «Через 365 дней, т.е. через год, будет опять среда, а как считать дальше я не знаю». «Через 5 дней будет понедельник, а 500 делится на 5. Поэтому через 500 дней опять будет понедельник». Добраться за 10-15 минут разговора с таким ребёнком до истины невозможно. Но можно хотя бы убедить ребёнка в том, что для ответа на такой вопрос надо сначала подумать, а не нести первое, что придёт в голову. Например, напомнив ему, что в этом году Новый год пришёлся на воскресенье, а в прошлом, вроде бы, на какой-то другой день. Многие дети испытывают при этом нечто близкое к шоку: оказывается при ответе на математические вопросы надо думать, а не обязательно подставлять какие-то цифирки вместо каких-то буковок. Как сказала мне одна весьма неглупая девушка, когда я показал ей материалы нашей олимпиады имени Г.П. Кукина «Какая же это математика? Это логика».
2. Неумение делить с остатком. Вообще-то, владение понятием остатка от деления одного натурального числа на другое относится к числе тех самых фундаментальных математических навыков, которые могут и должны формироваться самой жизнью. Мне запал в память рассказ, который я слышал в студенчестве от весьма авторитетного профессора-математика, выросшего в далёкой уральской глубинке. «Когда я пошёл в школу, я не знал, зачем это нужно делать, а чернила даже попытался выпить. Но, как делить с остатком, я знал всегда».
Как отличить первый случай от второго? Очень просто. Надо поинтересоваться, а какой день недели будет через 10 суток, 20 суток, 50 суток? Если ответы на эти вопросы после короткого раздумья даются верные, то ставить нужно именно второй диагноз. Ясно, что он менее опасен. С упомянутой выше гимназисткой дело обстояло именно так, и я сохраняю веру в её нормальное интеллектуальное развитие.
Как же должна быть построена программа изучения математики, направленная не на запоминание формул и теорем, а на математические стороны реальной жизни. У меня нет ответа на этот вопрос. Но думать об этом нужно. В противном случае мы скоро получим поколение, которое, возможно, будет знать какие-то формулы, но не будет понимать, что по прямой идти обычно получается быстрее, чем в обход.