Понятия "прописка" у нас в России нет. Существует временная регистрация по месту пребывания и постоянная регистрация по месту жительства. Постоянная, думаю, понятна. Что касается временной - "Гражданин, прибывший для временного проживания в жилое помещение, не являющееся его местом жительства на срок свыше 90 дней, по истечении указанного срока должен зарегистрироваться по месту пребывания."
Временной "пропиской" можно прекрасно обходиться, в случае, если приехали подработать или по делам, можно даже сочетаться законным браком. Но, к примеру, с временной регистрацией сложнее получить кредит. Другими словами - для оформления на работу, для аренды жилья, смены документов: паспорта, в том числе загран-, прав, в смысле водителського удостоверения, ИНН - достаточно временной регистрации, если вы не собираетесь менять место жительства, то сниматься с постоянного учета не нужно. Неизвестно, что насчет медицинского страхования - разные инстанции считают по-разному.
Сейчас людей, насколько мне известно, регистрируют ЕИРЦ (ЖЭКи, РЭУ, паспортные столы). О том, какие документы для этого нужны - узнавать непосредственно на месте. В некоторых инстанциях достаточно заявления, в других требуют договор безвозмездного пользования - эта прелесть оформляется нотариально и стоит денег. И - уточнять, утонять, записывать, согласовывать с инстанциями, как и что нужно оформлять, вплоть до того как должно быть написано в удостоверяемых документах.
От чего зависит вид документа и способ оформления, мне неясно.
10 пунктов о прописке (из серии популярное право) читать здесь:
факты о прописке