Кризис оснований математики
В Вики примечательная статья «Кризис оснований математики», хотя я не уверен, что кризис настолько свежий, скорее всего это глобализация позволила его обнаружить, тогда как логически он должен был существовать очень давно, в разных местах, разве только рефлексировать по этому поводу не было нужды. В любом случае хорошо уже то, что сам факт был зафиксирован.
Если обобщать, то всё сводится как всегда к противоречивости логических систем, о чём много уже говорилось. Ахиллесовой пятой математики является фундаментальный тезис, что единица существует, а психологической основой этой произвольной аксиомы является собственное чувство «Я» человека. Логика тут простая: Я - есть, следовательно, 1 - есть. Логично, но по сути феноменализм, произвол. В этом смысле математику можно назвать системой верования в существование единицы.
Началом кризиса «наивной» математики в принципе можно считать уже переход от натуральных чисел к целым (добавление 0 и -1). Дальше - больше, вплоть до прямого антитезиса единице - континуума теории множеств. Классикой же «кризиса» становятся такие парадоксы, как «парадокс Рассела», он же аналогия религиозного «парадокса всемогущества»
Примечательно, что в попытках разрешения парадокса математики неизбежно приходят к эзотерическим «банальностям», а именно к понятию «иерархии», и к многократно уже упомянутому холистическому принципу, более известному через тезис Аристотеля «целое больше, чем сумма его частей», а так же производный от него тезис, что правильное мышление идёт от целого к частному, а не наоборот.
То есть вы не можете «наивно» оставить множество чисел как целое на том же иерархическом уровне, на котором находятся единицы этого множества, и применять к множеству (как единице) те же математические нормы, которые применимы к членам множества, у вас возникнет парадокс. Вам либо придётся вводить иерархию (типы Рассела), либо заменять множества на подмножества в пределах целого, к которому уже не применимы нормы этих подмножеств. Как ни крути, а вам придётся уходить от наивного мышления в принципе, то есть от феноменализма, от вещей-в-себе. Вам придётся запрещать множествам возможность содержать самих себя. Оккультно это называется уходом от самомнения «Я - есть». Иными словами, кризис оснований математики это кризис дифференцированного и самоцентрированного мышления человека.
Апофеозом кризиса математической фиктивности я бы назвал теорему Банаха - Тарского, которую называют парадоксом. Я, конечно, не специалист, и видимо поэтому мне не трудно считать эту теорему фиктивной по сути, но вполне легальной математически. Фикция в том, что она использует аксиому выбора там, где эта аксиома неприменима. То есть имеет место произвол дифференцированного мышления в отношении недифференцированных объектов. Грубо говоря, если у вас есть окружность (орбита), то вы не можете назвать его множеством, из которого следуя аксиоме выбора можно выбрать некую единицу, точку. Почему? Потому что число ПИ трансцендентно, и круг континуален, ваша выбранная произвольно точка становится фиктивной, мнимой, а следом и вся теорема. Обычное дело. «Аксиома выбора» это в общем то голый феноменализм, и потому математически она «хорошо» работает только с натуральными числами и конечными множествами таких чисел - «яблоками» - но с такими множествами теорему доказать не получится, а применять аксиому к другим множествам - не корректно.
Вообще, если как-то резюмировать очередной экскурс в математические мнимости, можно заметить накопление парадоксов и проблем по мере увеличения меры - измерения. Что положено Юпитеру, то не положено быку, но в математике это пока ещё новый принцип. В теории одномерная математика (точки и отрезки на прямой) не применима автоматически к двухмерной геометрии (на окружности), то есть нельзя просто окружность представить замкнутым отрезком, конечным множеством точек. При таком представлении вы теряете в математике «округлость» этого отрезка, если так можно сказать. Точки (единицы) на прямой и на кривой не одно и то же, и рано или поздно возникнет парадокс. Аналогично и точки на сфере не тождественны точкам на отрезке или кривой. Эти точки отличает их качество - собственная разница тех множеств (одномерного, двумерного и т.д. общего целого), подмножествами которых они являются.
Применение одномерной аксиомы выбора к многомерным пространствам рождает парадокс, аналогичный знаменитому коту Шрёдингера или принципу неопределенности, смотря с какой стороны смотреть. То есть у вас либо есть выбранная точка (дифференциация, или разбиение), но тогда нет её «орбиты» как множества, либо есть орбита (целое), но нет точки. А поскольку математика в отличие от физики полностью абстрактна, то она вполне позволяет себе теоремы не имеющие никакого сущностного смысла, просто вытекающие из её же произвольных аксиом.