Кое что о Пифагоре и пифагорействе
Пифагор с острова Самос был одной из наиболее влиятельных и тем не менее загадочных фигур в математике. Поскольку достоверных сообщений о его жизни и работе не сохранилось, его жизнь оказалась окутанной мифами и легендами, и историкам бывает трудно отделить факты от вымысла. Не подлежит сомнению, однако, что Пифагор развил идею о логике чисел и что именно ему мы обязаны первым золотым веком математики. Благодаря его гению, числа перестали использоваться только для счета и вычислений и были впервые оценены по достоинству. Пифагор изучал свойства определенных классов чисел, соотношения между ними и фигуры, которые образуют числа. Пифагор понял, что числа существуют независимо от материального мира, и поэтому на изучении чисел не сказывается неточность наших органов чувств. Это означало, что Пифагор обрел возможность открывать истины, независимые от чьего-либо мнения или предрассудка. Истины более абсолютные, чем любое предыдущее знание.
Пифагор жил в V веке до н.э., свои познания и умения в математике он приобрел, странствуя по Древнему Миру. По некоторым преданиям, Пифагор побывал в Индии и Британии, но, по более достоверным сведениям, он перенял многие математические методы и средства у вавилонян и египтян. И те, и другие древние народы вышли за пределы простого счета и могли выполнять сложные вычисления, позволявшие им создавать тонкие системы учета и возводить сложные здания. Правда, математику они рассматривали лишь как средство решения практических проблем; причиной открытий некоторых основных правил геометрии стала необходимость восстанавливать границы между земельными участками, оказавшимися смытыми при ежегодных разливах Нила. Само слово геометрия означает «землемерие».
====
Чувствуя себя в безопасности в своем новом доме, Пифагор основал пифагорейское братство - группу из шестисот последователей, способных не только понять его учения, но и добавить к ним новые идеи и доказательства. Вступая в братство, каждый последователь Пифагора должен был пожертвовать в общий фонд все свое состояние. Каждый, кто покидал братство, получал сумму вдвое большую, чем первоначальное пожертвование, и в память о нем воздвигалась надгробная плита. Пифагорейское братство было эгалитарной школой, и среди учащихся были не только мужчины, но и несколько женщин. Любимой ученицей Пифагора была дочь Мило - прекрасная Теано. Несмотря на большую разницу в возрасте Пифагор и Теано в конце концов поженились.
Вскоре после основания братства Пифагор придумал слово «философ» и тем самым провозгласил цели школы. Во время Олимпийских игр Леон, правитель Флиуса, спросил Пифагора, как бы тот охарактеризовал себя. Пифагор ответил: «Я философ», но Леону не приходилось прежде слышать этого слова, и он попросил Пифагора объяснить, что оно означает.
«Жизнь, правитель Леон, можно уподобить происходящим сейчас Олимпийским играм: в собравшейся здесь огромной толпе одних привлекает выгода, которую они надеются извлечь, других - надежды и честолюбивые замыслы, они надеются обрести известность и славу. Но есть среди них немного и таких, кто пришел сюда, чтобы увидеть и понять все, что здесь происходит.
То же самое относится и к жизни. Одни обуяны любовью к благосостоянию, другие слепо следуют безумной лихорадочной жажде власти и господства, но лучший из людей посвящает себя познанию смысла и цели самой жизни. Он стремится раскрыть тайны природы. Такого человека я называю философом, ибо хотя ни один человек не может постичь всю мудрость мира, он может любить мудрость как ключ к тайнам природы».
===
Хотя многие знали о намерениях Пифагора, никто за пределами братства не знал, чем именно занимаются Пифагор и его ученики. Каждый член школы приносил торжественную клятву никогда, ни под каким видом, не разглашать посторонним математические открытия братства. Даже после смерти Пифагора один из членов братства был утоплен за то, что он нарушил клятву, - публично заявил об открытии нового правильного тела, додекаэдра, ограниченного двенадцатью правильными пятиугольниками. Множество мифов о странных ритуалах, совершавшихся членами братства, и немногочисленность надежных сведений об их математических достижениях - следствие той доведенной до предела таинственности, которой окружали себя пифагорейцы.
Достоверно известно, что Пифагор установил этос, изменивший ход развития математики. По существу пифагорейское братство было религиозным сообществом, и одним из идолов, которым поклонялись пифагорейцы, было Число. Пифагорейцы полагали, что постигая соотношения между числами, они смогут раскрыть духовные тайны Вселенной и тем самым приблизиться к богам. Особое внимание члены братства уделяли натуральным числам (1, 2, 3, ...) и дробям. Натуральные числа вместе с дробями (отношениями этих чисел) на языке профессиональных математиков принято называть рациональными числами. Среди бесконечного множества чисел пифагорейцы высматривали те, которые имеют особое значение. Среди наиболее значимых для них чисел были так называемые «совершенные» числа.
По мнению Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, которые делят без остатка исходное число). Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 - избыточное число, так как сумма его делителей равна 16.
С другой стороны, если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным». Например, 10 - недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.
Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно важными. Такие числа они называли совершенными. Например, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совершенно, так как 1+2+3=6. Следующее совершенное число равно 28, так как
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Совершенный характер чисел 6 и 28, имевший столь большое математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.
В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».
По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число 496, четвертое - 8 128, пятое - 33 550 336, шестое - 8 589 869 056. Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле,
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31,
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127.
(при этом, все эти ряды заканчиваются прочтым числом!)
Пифагор забавлялся совершенными числами, но не довольствовался одним лишь коллекционированием таких чисел. Он мечтал открыть их более глубокое значение. Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2^n, где n означает число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны:
2^2 = 2·2 = 4, делители 1, 2, сумма 3,
2^3 = 2·2·2 = 8, делители 1, 2, 4, сумма 7,
2^4 = 2·2·2·2 = 16, делители 1, 2, 4, 8, сумма 15,
2^5 = 2·2·2·2·2 = 32, делители 1, 2, 4, 8, 16, сумма 31.
Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2:
6 = 2^1·(2^2 - 1),
28 = 2^2·(2^3 - 1),
496 = 2^4·(2^5 - 1),
8128 = 2^6·(2^7 - 1).
Современные компьютеры позволили продолжить поиск совершенных чисел и обнаружить чудовищно большие экземпляры таких чисел, например, 2^216090·(2^216091 - 1). Это число содержит более 130 000 цифр и подчиняется правилу Евклида.
Сингх. "Великая теорема Ферма".
Пифагор жил в V веке до н.э., свои познания и умения в математике он приобрел, странствуя по Древнему Миру. По некоторым преданиям, Пифагор побывал в Индии и Британии, но, по более достоверным сведениям, он перенял многие математические методы и средства у вавилонян и египтян. И те, и другие древние народы вышли за пределы простого счета и могли выполнять сложные вычисления, позволявшие им создавать тонкие системы учета и возводить сложные здания. Правда, математику они рассматривали лишь как средство решения практических проблем; причиной открытий некоторых основных правил геометрии стала необходимость восстанавливать границы между земельными участками, оказавшимися смытыми при ежегодных разливах Нила. Само слово геометрия означает «землемерие».
====
Чувствуя себя в безопасности в своем новом доме, Пифагор основал пифагорейское братство - группу из шестисот последователей, способных не только понять его учения, но и добавить к ним новые идеи и доказательства. Вступая в братство, каждый последователь Пифагора должен был пожертвовать в общий фонд все свое состояние. Каждый, кто покидал братство, получал сумму вдвое большую, чем первоначальное пожертвование, и в память о нем воздвигалась надгробная плита. Пифагорейское братство было эгалитарной школой, и среди учащихся были не только мужчины, но и несколько женщин. Любимой ученицей Пифагора была дочь Мило - прекрасная Теано. Несмотря на большую разницу в возрасте Пифагор и Теано в конце концов поженились.
Вскоре после основания братства Пифагор придумал слово «философ» и тем самым провозгласил цели школы. Во время Олимпийских игр Леон, правитель Флиуса, спросил Пифагора, как бы тот охарактеризовал себя. Пифагор ответил: «Я философ», но Леону не приходилось прежде слышать этого слова, и он попросил Пифагора объяснить, что оно означает.
«Жизнь, правитель Леон, можно уподобить происходящим сейчас Олимпийским играм: в собравшейся здесь огромной толпе одних привлекает выгода, которую они надеются извлечь, других - надежды и честолюбивые замыслы, они надеются обрести известность и славу. Но есть среди них немного и таких, кто пришел сюда, чтобы увидеть и понять все, что здесь происходит.
То же самое относится и к жизни. Одни обуяны любовью к благосостоянию, другие слепо следуют безумной лихорадочной жажде власти и господства, но лучший из людей посвящает себя познанию смысла и цели самой жизни. Он стремится раскрыть тайны природы. Такого человека я называю философом, ибо хотя ни один человек не может постичь всю мудрость мира, он может любить мудрость как ключ к тайнам природы».
===
Хотя многие знали о намерениях Пифагора, никто за пределами братства не знал, чем именно занимаются Пифагор и его ученики. Каждый член школы приносил торжественную клятву никогда, ни под каким видом, не разглашать посторонним математические открытия братства. Даже после смерти Пифагора один из членов братства был утоплен за то, что он нарушил клятву, - публично заявил об открытии нового правильного тела, додекаэдра, ограниченного двенадцатью правильными пятиугольниками. Множество мифов о странных ритуалах, совершавшихся членами братства, и немногочисленность надежных сведений об их математических достижениях - следствие той доведенной до предела таинственности, которой окружали себя пифагорейцы.
Достоверно известно, что Пифагор установил этос, изменивший ход развития математики. По существу пифагорейское братство было религиозным сообществом, и одним из идолов, которым поклонялись пифагорейцы, было Число. Пифагорейцы полагали, что постигая соотношения между числами, они смогут раскрыть духовные тайны Вселенной и тем самым приблизиться к богам. Особое внимание члены братства уделяли натуральным числам (1, 2, 3, ...) и дробям. Натуральные числа вместе с дробями (отношениями этих чисел) на языке профессиональных математиков принято называть рациональными числами. Среди бесконечного множества чисел пифагорейцы высматривали те, которые имеют особое значение. Среди наиболее значимых для них чисел были так называемые «совершенные» числа.
По мнению Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, которые делят без остатка исходное число). Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 - избыточное число, так как сумма его делителей равна 16.
С другой стороны, если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным». Например, 10 - недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.
Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно важными. Такие числа они называли совершенными. Например, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совершенно, так как 1+2+3=6. Следующее совершенное число равно 28, так как
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Совершенный характер чисел 6 и 28, имевший столь большое математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.
В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».
По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число 496, четвертое - 8 128, пятое - 33 550 336, шестое - 8 589 869 056. Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле,
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31,
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127.
(при этом, все эти ряды заканчиваются прочтым числом!)
Пифагор забавлялся совершенными числами, но не довольствовался одним лишь коллекционированием таких чисел. Он мечтал открыть их более глубокое значение. Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2^n, где n означает число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны:
2^2 = 2·2 = 4, делители 1, 2, сумма 3,
2^3 = 2·2·2 = 8, делители 1, 2, 4, сумма 7,
2^4 = 2·2·2·2 = 16, делители 1, 2, 4, 8, сумма 15,
2^5 = 2·2·2·2·2 = 32, делители 1, 2, 4, 8, 16, сумма 31.
Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2:
6 = 2^1·(2^2 - 1),
28 = 2^2·(2^3 - 1),
496 = 2^4·(2^5 - 1),
8128 = 2^6·(2^7 - 1).
Современные компьютеры позволили продолжить поиск совершенных чисел и обнаружить чудовищно большие экземпляры таких чисел, например, 2^216090·(2^216091 - 1). Это число содержит более 130 000 цифр и подчиняется правилу Евклида.
Сингх. "Великая теорема Ферма".