Математика
Посоветовала знакомому почитать Арнольда, не удержалась и начала читать какие-то статьи сама. Насколько я помню, мы со Шмелём сошлись в том, что это весьма яркая фигура и в математике, и в... эммм... хотела бы написать "в литературе", да ведь не так много ненаучных книг и статей у него, но при этом читать его весьма приятно и интересно. А отцу моему я жаловалась, что хотела бы быть настолько же образованной, на что папа отвечал, что это в некотором роде идеал, у него совсем другие условия воспитания и образования, и что мне не стоит переживать, что я тупое быдло могу оперировать гораздо менее глубокими и обширными знаниями.
Владимира Игоревича, в частности, волновала проблема школьного обучения, не только математике, но ей и естественным наукам в первую очередь. Много он говорил по поводу того, что школьное и университетское образование катятся в пропасть, не только в России - по всему миру. Если рассуждать логически, виноваты в этом, получается, негры, "не способные понять геометрию Евклида", политкорректность вкупе с демократией и стремление к американизации.
Пока читала статьи, в голове, во-первых, сформировалась мысль, ранее ощущаемая только интуитивно: понять красоту математики можно только в её приложениях, в основном, в физике. За три года обучения самой разной физике до меня дошло, что мир прекрасен и удивителен, ведь в нём имеются принцип подобия (в самых разных областях человеческого знания) и симметрия (неполная). А так же - что многие математические методы были разработаны в попытках объяснить или описать некие физические явления, но благодаря подобию (то есть, благодаря тому, что нашли применение не только конкретно в этом вопросе), превратились в теории и даже целые математические направления.
Во-вторых, я вспоминала, как сама занималась в начале января математикой с деревенской девочкой-одиннадцатиклассницей (я всем рассказываю, как папины студенты второкурсники из Связи присылают ему курсовые с графиками, нарисованными на листочках в клеточку и отсканированными, но с девочкой ситуация гораздо хуже). По идее, я должна была помочь разобраться с линуксом в школе, но я-то думала, что за бесплатно, а тётушка хотела организовать школьную администрацию заплатить мне по сто рублей с носа, да они зажилили деньги и в итоге так и остались без почты и кучи других вещей. Вот мне и нашли другое занятие, и с девочкой по имени Олеся мы решали задачки части В ЕГЭ в количестве почти ста штук.
Стоит начать описание всего этого ужаса с того, что Олеся - девочка неглупая, даже совсем наоборот. Просто математика у них так преподаётся, что контрольный срез в конце полугодия написала на 5 только одна ученица, с которой занимался брат-студент. Остальные пять-шесть человек получили двойки и вот эту сотню задачек на каникулы. Задачи по большей части решаются условно-устно (вспоминаем завет Калашниковой "Устный счёт создаёт лишь видимость экономии времени"). При всём том Олеся просто не понимала, чего от неё хотят в задаче. Правила и формулы она учила, даже обладала какими-то навыками оценивать результат на правдоподобность, исходя из соображений здравого смысла (что в принципе ценно). Но осознать принципиальную разницу между максимальным числом тетрадей данной стоимости, которые можно купить на имеющуюся сумму, и минимальным числом шлюпок, необходимых для спасения в экстренном случае всех пассажиров и членов экипажа корабля, она самостоятельно не могла.
Другое "проклятие" - калькулятор. Мне никогда не приходит в голову делить или умножать на калькуляторе на 2, на 10, на 100 и т. п. Это же лишний труд, на кнопки же нужно нажимать, это же не рационально! На ЕГЭ пользоваться калькуляторами нельзя, я честно пыталась запрещать Олесе им пользоваться, а она честно пыталась запрет не нарушать. В итоге я напомнила ей признаки деления (на 3, на 9), обучила некоторым правилам быстрого устного счёта (умножение на 11, например), но так и не смогла научить её быстро и легко оперировать десятичными и обыкновенными дробями, переводить одни в другие. У меня было мало времени, что-то девочка поняла, но явно не всё. Кстати, мне даже пришлось произнести эпичную фразу: "Когда я училась в школе, калькуляторы были ещё не у всех, поэтому нас учили быстрому счёту". Сразу почувствовала себя старше.
Из-за того, что так просто и соблазнительно считать всё на калькуляторе, у девочки не было навыков искать наиболее простой способ решения задачи. То есть, к примеру, когда задача преимущественно на счёт, такой способ, при котором числа, которыми приходится оперировать, максимально маленькие и простые. В длинном выражении встретилась скобка вида 5*(a + b + c + d), где буквами заменены десятичные дроби с двумя-тремя знаками после запятой, такие, что a, (b + c) и d при умножении на 5 давали целые числа или дроби с одним знаком после запятой. Нет, мы свойств сложения не знаем (вернее, знаем, но пользоваться ими не умеем), поэтому будем считать сначала всю сумму - так как Лена отобрала калькулятор, то в столбик, - получая в процессе чудовищные числа, а затем умножать на 5. Между прочим, такой способ счёта сам по себе может привести к огромному количеству ошибок, но есть и ещё одна специфическая деталь.
Кто учился у Калашниковой, наверное, до сих пор помнит, как она гоняла за постановку знака равенства между неравными выражениями. Во-первых, в ситуации, когда одному числу соответствует, но не равно, то же число, но в другой записи. Во-вторых, когда мы пишем буквенную формулу, а затем подставляем в неё численные значения: в другой строчке, не ставя знака равенства между буквенной и численной записями. Но это всё формальности, признаки хорошего тона, так скажем. В-третьих, и это самый тяжкий грех, при дописывании выражения. Например, 5 + 3 = 8. + 2 = 10. + 1 = 11. Точкой я пометила конец выражения, правильно было бы 5 + 3 = 8, 8 + 2 = 10, 10 + 1 = 11. Я только сейчас поняла, сколько потенциальных ошибок заложено в таком вот пренебрежении знаком равенства. Я бы била за такую запись линейкой по пальцам, если бы преподавала в школе.
Отдельно вспоминаются развесёлые задачки на устный счёт с корнями. Когда под корнем стояло четырёхзначное число, а калькулятора не было под рукой, Олеся готова была плакать. На моё предложение разложить число на простые множители она посмотрела на меня так, будто я говорю на хинди. Мне казалось, это тема не одиннадцатого класса, пришлось учить. Что самое интересное, пока я диктовала последовательность действий: "Число делится на два? Делится. Пиши "2 умножить на..." На сколько умножить? Раздели число на два. Так, а получившееся число делится на 2? Нет? Какое у нас следующее простое число? 3? Делится на три? Пиши " равно 2 умножить на 3, умножить на..." На сколько?.." - Так вот, пока я всё это диктовала, я заметила, что девочка улыбалась, мол, какие до смешного простые вещи мы делаем. Пришлось ей объяснять, что так надо, что пусть это смешно, но не надо обращать ни на кого внимания, расписывать число на множители - и решать задачу быстро и правильно, и притом без калькулятора. Кажется, в итоге ей даже понравилось.
Намучилась я и с производными. Кроме того, что то, что рассказывала Калашникова: в обычных школах проходят степенные функции, затем дифференцирование и интегрирование, затем ещё пару тем, и только после того логарифмы - кроме того, что это оказалось правдой, я была поражена общим уровнем девочки по этой теме. На простой вопрос: что значит, что прямая параллельна данной, уравнение которой известно, - я не получила ответа. Решила объяснить на примере, нарисовала две параллельные прямые и предложила написать уравнения для обеих. И получила в ответ: "А мы уравнение касательной проходили, а уравнение прямой нет." Это как вообще? Ну ладно, до y = k*x + b мы добрались, но вот как же записать уравнение прямой, график которой нарисован? Это сложно, это надо долго думать. Спрашиваю: "Что нужно найти?" k и b, замечательно. "Что подставить в уравнение?" x и y, прекрасно. "Какие x и y?" Не знает. Ставлю ручку на прямую в какой-то точке: "Ещё раз, какие x и y?" Вот этой точки. Запиши, говорю. С горем пополам записали. Сколько, спрашиваю, точек надо? И ступор. Пытается угадать: одна, две, три... Не сдаюсь, спрашиваю: почему одна, почему две, почему три. Ответить не может. Начинаю подсказывать: "Что мы знаем из геометрии, какую аксиому про прямые? Через каждые две точки..." Воот! Видели бы вы глаза этой девочки, когда она выпалила продолжение "...на плоскости проходит прямая, и притом только одна!" - они же светились радостью и счастьем. Так сколько точек нам нужно, повторяю я вопрос. "Две!" - и непередаваемый восторг. Дальше легче пошло, хотя с решением систем немного повозились.
К слову, когда для задачи, уже из стереометрии, на нахождение объёма куба при известной главной диагонали, Олеся почти самостоятельно вывела формулу нахождения длины диагонали параллелепипеда по известным трём сторонам, радости не было предела, а энтузиазм возрос неимоверно. Впрочем, со стереометрией тоже было не всё гладко: я очень долго пыталась сначала добиться от Олеси, чтобы она указала, какие же грани параллелепипеда перпендикулярны данному ребру, а затем объяснила, почему так. Взамен затребованного мной определения девочка показала мне две ладошки перпендикулярно одна к другой и сказала: "Ну вот так же, вот поэтому!" Не спорю, наглядный пример - это хороший способ решать задачи, но иногда за ним должно стоять какое-то понимание.
Что я хочу сказать. Все приведённые выше примеры - вещи элементарнейшие, доступные семикласснику, а то и младше. Но нельзя надеяться на то, что школьник (да и студент) будет самообразовываться. Основы, базис, нужно объяснить, преподать наиболее подробно и тщательно, прогнать ученика по простым задачам "на одну формулу". Педагоги в деревне ничуть не хуже педагогов в городе - они заканчивали Педунивер, обязаны всё это делать. Дети в классе (я их всех видела) замечательные, ни одного "трудного" - так им повезло. Они хотят и могут учиться, они не такие уж и глупые. Но при нынешней системе образования (их уже коснулось сокращение часов математики) отсутствие желания учить у учителя и отсутствие времени на то, чтобы разобраться самим, играет злую шутку. Вот и получается, что студентка, ещё даже не закончившая универ, может за три двухчасовых занятия, научить большему и качественнее, чем учитель за сколько-то там часов в год.
UPD Про дроби, за которые так воюет всё тот же Арнольд. Да, действительно, пользование калькулятором, даже простейшим, не инженерным, сводит навыки оперирования обыкновенными дробями на нет. Итак, имеется задача, которая сводится к сложению трех дробей вида 1/n, где n - трёх- или четырёхзначное число. Во-первых, девочка не слишком уверенно пользовалась правилом сложения обыкновенных дробей (а так же умножения и деления), но отнесём это к индивидуальным проблемам самой девочки. Во-вторых, без калькулятора решить "в лоб" не так просто: это означает, что все три гигантских знаменателя надо перемножить для знаменателя и сложить для числителя, а потом ещё и упростить получившуюся дробь. Слава богам, несколько задач назад мы разобрали разложение числа на простые множители. Теперь от девочки требовалось тупо посчитать, в каком из разложений больше всего двоек, в каком больше всего троек и так далее, все эти двойки-тройки-пятёрки перемножить и получить - бинго! - наименьшее общее кратное, которое и является знаменателем суммарной дроби. НОК мы с ней делили на каждый из знаменателей, получая число, на которое нужно домножить числитель, складывали числители, упрощали, получали верный ответ и радовались. Мне кажется, что всё это элементарно. НОК я видела и без утомительной и долгой процедуры разложения на простые множители, но мне нужно было не посчитать за девочку, а научить это делать её саму.
Такая же ситуация с процентами, десятичными долями и обыкновенными дробями, встретившимися в одной из задач. Понять, что это всё разные записи одного и того же, оказалось не так просто. К слову сказать, девочка (а так же папины студенты из Связи) совершенно не умела обращать внимание на размерности, переводить одни в другие, пользоваться пресловутой СИ или любыми другими удобными единицами. Ведь, на мой взгляд, гораздо проще выражать время в часах и считать обыкновенные дроби, а Олеся переводила часы в минуты и получала те самые чудовищные дроби, о которых я рассказывала в самом начале правки. Это необходимо было для решения задач о наполнении бассейна из нескольких труб с разной пропускающей способностью. Мне пришлось ввести объём бассейна x литров для наглядности, поэтому дроби (суть скорости) у нас получались, на самом деле, вида x/n, и мне, кстати, не так просто было добиться вынесения x за скобку.
Пара слов об унификации обозначений. Пришлось и об этом упомянуть: принято обозначать объём V, а скорость v, особенно в задачах, где встречаются и то, и другое. Принято обозначать переменные и неизвестные буквами из конца алфавита, а постоянные и известные величины буквами из начала. Это всё не так серьёзно, но значительно упрощает жизнь: зачем каждый раз изобретать велосипед, зачем делать записи, в которых другой человек разберётся не сразу?
Владимира Игоревича, в частности, волновала проблема школьного обучения, не только математике, но ей и естественным наукам в первую очередь. Много он говорил по поводу того, что школьное и университетское образование катятся в пропасть, не только в России - по всему миру. Если рассуждать логически, виноваты в этом, получается, негры, "не способные понять геометрию Евклида", политкорректность вкупе с демократией и стремление к американизации.
Пока читала статьи, в голове, во-первых, сформировалась мысль, ранее ощущаемая только интуитивно: понять красоту математики можно только в её приложениях, в основном, в физике. За три года обучения самой разной физике до меня дошло, что мир прекрасен и удивителен, ведь в нём имеются принцип подобия (в самых разных областях человеческого знания) и симметрия (неполная). А так же - что многие математические методы были разработаны в попытках объяснить или описать некие физические явления, но благодаря подобию (то есть, благодаря тому, что нашли применение не только конкретно в этом вопросе), превратились в теории и даже целые математические направления.
Во-вторых, я вспоминала, как сама занималась в начале января математикой с деревенской девочкой-одиннадцатиклассницей (я всем рассказываю, как папины студенты второкурсники из Связи присылают ему курсовые с графиками, нарисованными на листочках в клеточку и отсканированными, но с девочкой ситуация гораздо хуже). По идее, я должна была помочь разобраться с линуксом в школе, но я-то думала, что за бесплатно, а тётушка хотела организовать школьную администрацию заплатить мне по сто рублей с носа, да они зажилили деньги и в итоге так и остались без почты и кучи других вещей. Вот мне и нашли другое занятие, и с девочкой по имени Олеся мы решали задачки части В ЕГЭ в количестве почти ста штук.
Стоит начать описание всего этого ужаса с того, что Олеся - девочка неглупая, даже совсем наоборот. Просто математика у них так преподаётся, что контрольный срез в конце полугодия написала на 5 только одна ученица, с которой занимался брат-студент. Остальные пять-шесть человек получили двойки и вот эту сотню задачек на каникулы. Задачи по большей части решаются условно-устно (вспоминаем завет Калашниковой "Устный счёт создаёт лишь видимость экономии времени"). При всём том Олеся просто не понимала, чего от неё хотят в задаче. Правила и формулы она учила, даже обладала какими-то навыками оценивать результат на правдоподобность, исходя из соображений здравого смысла (что в принципе ценно). Но осознать принципиальную разницу между максимальным числом тетрадей данной стоимости, которые можно купить на имеющуюся сумму, и минимальным числом шлюпок, необходимых для спасения в экстренном случае всех пассажиров и членов экипажа корабля, она самостоятельно не могла.
Другое "проклятие" - калькулятор. Мне никогда не приходит в голову делить или умножать на калькуляторе на 2, на 10, на 100 и т. п. Это же лишний труд, на кнопки же нужно нажимать, это же не рационально! На ЕГЭ пользоваться калькуляторами нельзя, я честно пыталась запрещать Олесе им пользоваться, а она честно пыталась запрет не нарушать. В итоге я напомнила ей признаки деления (на 3, на 9), обучила некоторым правилам быстрого устного счёта (умножение на 11, например), но так и не смогла научить её быстро и легко оперировать десятичными и обыкновенными дробями, переводить одни в другие. У меня было мало времени, что-то девочка поняла, но явно не всё. Кстати, мне даже пришлось произнести эпичную фразу: "Когда я училась в школе, калькуляторы были ещё не у всех, поэтому нас учили быстрому счёту". Сразу почувствовала себя старше.
Из-за того, что так просто и соблазнительно считать всё на калькуляторе, у девочки не было навыков искать наиболее простой способ решения задачи. То есть, к примеру, когда задача преимущественно на счёт, такой способ, при котором числа, которыми приходится оперировать, максимально маленькие и простые. В длинном выражении встретилась скобка вида 5*(a + b + c + d), где буквами заменены десятичные дроби с двумя-тремя знаками после запятой, такие, что a, (b + c) и d при умножении на 5 давали целые числа или дроби с одним знаком после запятой. Нет, мы свойств сложения не знаем (вернее, знаем, но пользоваться ими не умеем), поэтому будем считать сначала всю сумму - так как Лена отобрала калькулятор, то в столбик, - получая в процессе чудовищные числа, а затем умножать на 5. Между прочим, такой способ счёта сам по себе может привести к огромному количеству ошибок, но есть и ещё одна специфическая деталь.
Кто учился у Калашниковой, наверное, до сих пор помнит, как она гоняла за постановку знака равенства между неравными выражениями. Во-первых, в ситуации, когда одному числу соответствует, но не равно, то же число, но в другой записи. Во-вторых, когда мы пишем буквенную формулу, а затем подставляем в неё численные значения: в другой строчке, не ставя знака равенства между буквенной и численной записями. Но это всё формальности, признаки хорошего тона, так скажем. В-третьих, и это самый тяжкий грех, при дописывании выражения. Например, 5 + 3 = 8. + 2 = 10. + 1 = 11. Точкой я пометила конец выражения, правильно было бы 5 + 3 = 8, 8 + 2 = 10, 10 + 1 = 11. Я только сейчас поняла, сколько потенциальных ошибок заложено в таком вот пренебрежении знаком равенства. Я бы била за такую запись линейкой по пальцам, если бы преподавала в школе.
Отдельно вспоминаются развесёлые задачки на устный счёт с корнями. Когда под корнем стояло четырёхзначное число, а калькулятора не было под рукой, Олеся готова была плакать. На моё предложение разложить число на простые множители она посмотрела на меня так, будто я говорю на хинди. Мне казалось, это тема не одиннадцатого класса, пришлось учить. Что самое интересное, пока я диктовала последовательность действий: "Число делится на два? Делится. Пиши "2 умножить на..." На сколько умножить? Раздели число на два. Так, а получившееся число делится на 2? Нет? Какое у нас следующее простое число? 3? Делится на три? Пиши " равно 2 умножить на 3, умножить на..." На сколько?.." - Так вот, пока я всё это диктовала, я заметила, что девочка улыбалась, мол, какие до смешного простые вещи мы делаем. Пришлось ей объяснять, что так надо, что пусть это смешно, но не надо обращать ни на кого внимания, расписывать число на множители - и решать задачу быстро и правильно, и притом без калькулятора. Кажется, в итоге ей даже понравилось.
Намучилась я и с производными. Кроме того, что то, что рассказывала Калашникова: в обычных школах проходят степенные функции, затем дифференцирование и интегрирование, затем ещё пару тем, и только после того логарифмы - кроме того, что это оказалось правдой, я была поражена общим уровнем девочки по этой теме. На простой вопрос: что значит, что прямая параллельна данной, уравнение которой известно, - я не получила ответа. Решила объяснить на примере, нарисовала две параллельные прямые и предложила написать уравнения для обеих. И получила в ответ: "А мы уравнение касательной проходили, а уравнение прямой нет." Это как вообще? Ну ладно, до y = k*x + b мы добрались, но вот как же записать уравнение прямой, график которой нарисован? Это сложно, это надо долго думать. Спрашиваю: "Что нужно найти?" k и b, замечательно. "Что подставить в уравнение?" x и y, прекрасно. "Какие x и y?" Не знает. Ставлю ручку на прямую в какой-то точке: "Ещё раз, какие x и y?" Вот этой точки. Запиши, говорю. С горем пополам записали. Сколько, спрашиваю, точек надо? И ступор. Пытается угадать: одна, две, три... Не сдаюсь, спрашиваю: почему одна, почему две, почему три. Ответить не может. Начинаю подсказывать: "Что мы знаем из геометрии, какую аксиому про прямые? Через каждые две точки..." Воот! Видели бы вы глаза этой девочки, когда она выпалила продолжение "...на плоскости проходит прямая, и притом только одна!" - они же светились радостью и счастьем. Так сколько точек нам нужно, повторяю я вопрос. "Две!" - и непередаваемый восторг. Дальше легче пошло, хотя с решением систем немного повозились.
К слову, когда для задачи, уже из стереометрии, на нахождение объёма куба при известной главной диагонали, Олеся почти самостоятельно вывела формулу нахождения длины диагонали параллелепипеда по известным трём сторонам, радости не было предела, а энтузиазм возрос неимоверно. Впрочем, со стереометрией тоже было не всё гладко: я очень долго пыталась сначала добиться от Олеси, чтобы она указала, какие же грани параллелепипеда перпендикулярны данному ребру, а затем объяснила, почему так. Взамен затребованного мной определения девочка показала мне две ладошки перпендикулярно одна к другой и сказала: "Ну вот так же, вот поэтому!" Не спорю, наглядный пример - это хороший способ решать задачи, но иногда за ним должно стоять какое-то понимание.
Что я хочу сказать. Все приведённые выше примеры - вещи элементарнейшие, доступные семикласснику, а то и младше. Но нельзя надеяться на то, что школьник (да и студент) будет самообразовываться. Основы, базис, нужно объяснить, преподать наиболее подробно и тщательно, прогнать ученика по простым задачам "на одну формулу". Педагоги в деревне ничуть не хуже педагогов в городе - они заканчивали Педунивер, обязаны всё это делать. Дети в классе (я их всех видела) замечательные, ни одного "трудного" - так им повезло. Они хотят и могут учиться, они не такие уж и глупые. Но при нынешней системе образования (их уже коснулось сокращение часов математики) отсутствие желания учить у учителя и отсутствие времени на то, чтобы разобраться самим, играет злую шутку. Вот и получается, что студентка, ещё даже не закончившая универ, может за три двухчасовых занятия, научить большему и качественнее, чем учитель за сколько-то там часов в год.
UPD Про дроби, за которые так воюет всё тот же Арнольд. Да, действительно, пользование калькулятором, даже простейшим, не инженерным, сводит навыки оперирования обыкновенными дробями на нет. Итак, имеется задача, которая сводится к сложению трех дробей вида 1/n, где n - трёх- или четырёхзначное число. Во-первых, девочка не слишком уверенно пользовалась правилом сложения обыкновенных дробей (а так же умножения и деления), но отнесём это к индивидуальным проблемам самой девочки. Во-вторых, без калькулятора решить "в лоб" не так просто: это означает, что все три гигантских знаменателя надо перемножить для знаменателя и сложить для числителя, а потом ещё и упростить получившуюся дробь. Слава богам, несколько задач назад мы разобрали разложение числа на простые множители. Теперь от девочки требовалось тупо посчитать, в каком из разложений больше всего двоек, в каком больше всего троек и так далее, все эти двойки-тройки-пятёрки перемножить и получить - бинго! - наименьшее общее кратное, которое и является знаменателем суммарной дроби. НОК мы с ней делили на каждый из знаменателей, получая число, на которое нужно домножить числитель, складывали числители, упрощали, получали верный ответ и радовались. Мне кажется, что всё это элементарно. НОК я видела и без утомительной и долгой процедуры разложения на простые множители, но мне нужно было не посчитать за девочку, а научить это делать её саму.
Такая же ситуация с процентами, десятичными долями и обыкновенными дробями, встретившимися в одной из задач. Понять, что это всё разные записи одного и того же, оказалось не так просто. К слову сказать, девочка (а так же папины студенты из Связи) совершенно не умела обращать внимание на размерности, переводить одни в другие, пользоваться пресловутой СИ или любыми другими удобными единицами. Ведь, на мой взгляд, гораздо проще выражать время в часах и считать обыкновенные дроби, а Олеся переводила часы в минуты и получала те самые чудовищные дроби, о которых я рассказывала в самом начале правки. Это необходимо было для решения задач о наполнении бассейна из нескольких труб с разной пропускающей способностью. Мне пришлось ввести объём бассейна x литров для наглядности, поэтому дроби (суть скорости) у нас получались, на самом деле, вида x/n, и мне, кстати, не так просто было добиться вынесения x за скобку.
Пара слов об унификации обозначений. Пришлось и об этом упомянуть: принято обозначать объём V, а скорость v, особенно в задачах, где встречаются и то, и другое. Принято обозначать переменные и неизвестные буквами из конца алфавита, а постоянные и известные величины буквами из начала. Это всё не так серьёзно, но значительно упрощает жизнь: зачем каждый раз изобретать велосипед, зачем делать записи, в которых другой человек разберётся не сразу?