"Последние работы А. Пуанкаре"
Книга шестьсот семьдесят третья
"Последние работы А. Пуанкаре"
М-Ижевск: РХД, 2001 г., 208 стр.
Анри Пуанкаре, помимо того, что был великим математиком, был еще и очень неслабым стилистом. Читать его книги - чистое интеллектуальное наслаждение. К сожалению, собственно математические статьи я читать не могу, изучал математику слишком давно и не те области, где работал Пуанкаре. Но он писал не только математические книги, а его работы о науке и естествознании, о философии математики адресованы не только математикам, и даже не столько им.
Этот небольшой сборник включает как собственно математические статьи, так и условно "гуманитарные". К последним относится, в частности статья "Идеи Герца в механике", в которой рассматриваются основания теоретической механики, обсуждаются понятия "массы", "силы", "энергии". Очень красивое определение кинетической и потенциальной энергии - жаль только, не общеприменимое.
Но здесь я хочу сосредоточиться на двух статьях сборника, для чтения которых математическое образование не нужно (хотя желательно, поможет даже курс высшей математики в техническом вузе).
Статья первая - "Будущее математики", отрывок из доклада на римском конгрессе математиков в 1908 году. Тут Пуанкаре говорит о предельно крупных областях математики - об Арифметике (теории чисел), Алгебре, Анализе, Геометрии, Теории множеств и Матлогике. Очень точные наблюдения за особенностями этих областей. Вот, к примеру, о теории чисел:
Чувство непрерывности - бесценный проводник, которого не хватает в арифметике. Каждое целое число отделено от других и, если можно так выразиться, имеет свою индивидуальную особенность. Каждое из них является своего рода исключением, вот почему в теории чисел очень редко появляются общие теоремы, вот почему даже существующие теоремы более скрыты и дольше ускользают от исследователей.
В какой-то мере это утверждение о том, что актуальная бесконечность "проще" потенциальной. Точек отрезка неперечислимо много, мы даже не можем все их поименовать конечным числом знаков. То есть, говоря об актуальной бесконечности точек отрезка, данных нам "все сразу, актуально", мы на самом деле их как бесконечную совокупность и не воспринимаем - мы воспринимаем их как что-то слипшееся, текучее, непрерывное. И в этом смысле более простое, чем потенциальная бесконечность натурального ряда. Потенциальную бесконечность, т.е. растущую конечную совокупность, мы воспринимаем как увеличивающуюся сложность. Небольшие числа нам знакомы "в лицо и на вкус", также у нас есть шаг "прибавить единицу, перейти к следующему" - все это позволяет нам прочувствовать потенциальную бесконечность как все возрастающую и становящуюся неподъемной тяжесть.
В одной из книг Мартина Гарднера есть остроумное доказательство того, что "среди натуральных чисел нет неинтересных". Оно, в кратце, таково:
1 интересное число, поскольку самое базовое, на него делится любое число и т.д.
2 интересное число, поскольку представляет собой минимальное выражение разнообразия;
...
Предположим, что неинтересные натуральные числа существуют. Рассмотрим множество всех неинтересных натуральных числе. Но у любого подмножества натурального ряда есть минимальный элемент. Рассмотрим это "минимальное неинтересное число" - разве это не представляет интерес, его такая особенность? Получается, что мы пришли к противоречию - это число, с одной стороны, "неинтересно", а с другой "интересно".
Вывод: неинтересных натуральных чисел не существует.
Конечно, это шутка, но в каждой шутке есть доля шутки. Осмысление того, почему это "доказательство" "неверно" (боже, каждое слово приходится брать в кавычки) позволит продумать и прочувствовать многое в устройстве натурального ряда и потенциальной бесконечности. Критиковать это "доказательство" можно по разным направлениям, и эти направления критики могут быть развиты в серьезные математические теории - точнее, хотя бы поверхностное знакомство с ними и генерирует эту критику.
А теперь перейдем к геометрии:
По-видимому, геометрия не может содержать ничего такого, чего не было бы уже в алгебре или в анализе: ведь геометрические факты - это те же факты алгебры или анализа, но только выраженные на другом языке. Казалось бы, поэтому, после того обзора, который мы сделали, не остается больше ничего сказать, специально относящегося к геометрии. Но думать так - значило бы проглядеть важность самого языка, когда он удачно создан, значило бы не понимать того, что прибавляет к вещам способ обозначения этих вещей и, следовательно, способ их группирования.
И прежде всего геометрические рассуждения приводят нас постановке новых проблем; конечно, это, если угодно, аналитические проблемы, но анализ никогда не привел бы к их постановке. Однако анализ извлекает для себя из этого выгоду, как и из того, что он вынужден решать проблемы для удовлетворения физики.
Большое преимущество геометрии состоит именно в том, что в ней чувства могут прийти на помощь рассудку и помогают отгадать нужный путь, так что многие предпочитают приводить проблемы анализа к их геометрической форме.
Тут Пуанкаре обращает внимание на различие двух вещей: формальное строгое доказательство устроено отнюдь не так, чтобы родиться самостоятельно; оно скорее формализует и проверяет догадку, которая возникает по своим, отнюдь не формальным и строгим, законам.
[Геометрия] дает нам прежде всего весьма удобный способ выражения, язык, который в очень немногих словах выражает то, что при обыкновенном аналитическом языке потребовало бы пространных фраз. Мало того: этот язык побуждает нас называть одним и тем же именем сходные между собой вещи и закрепляет аналогии, делая невозможным забвение их. Он дает нам возможность ориентироваться в этом пространстве, слишком громадном для нас, которого мы не можем обнять иначе, как вызывая перед собой постоянно образ видимого пространства, хотя последнее представляет собой лишь весьма несовершенное его изображение. И тут, как в предыдущих примерах, аналогия с тем, что просто, помогает нам понять то, что сложно.
Самое крутое - когда удачный язык позволяет открыть новую область математики:
Быть может, проблемы Analysis situs [т.е. топологии] не были бы даже поставлены, если бы пользовались только языком анализа; впрочем, нет, я ошибаюсь: они были бы, несомненно, поставлены, ибо их разрешение необходимо для множества вопросов анализа, но наверное изолированно, так что нельзя было бы вовсе усмотреть их общей связи.
Кстати, не надо думать, что только геометрия дает нам удобный интуитивный язык. В алгебре и арифметике это было проделано настолько давно, что мы и не замечаем, как удачный язык сделал когда-то сложные задачи очень легкими. Пример - арабские цифры. Попробуйте без них решить задачу: "Умножить MCDXCII на MDCCLXXVI". Когда-то люди придумывали специальные приемы для таких расчетов, большим уважением пользовались.
А стоит записать это привычными арабскими цифрами, так с этой задачкой справится любой аккуратный шестиклассник.
Вот что значит - удачные обозначения и стоящая за ними мощная идея позиционного счисления. Ну и сами знаки "+", "=" тоже здорово помогают своей компактностью.
Но перейдем ко второй статье - "Логика и интуиция в математической науке и преподавании". Как вы понимаете, это развитие рассмотренных выше идей, теперь уже с учетом преподавания, т.е. не просто "как устроена математика", но и "как инсталлировать математику в мозг учащегося". Отдельная проблема, да.
[Математика] уже достигла строгости, и наши рассуждения не покажутся смешными нашим потомкам. Разумеется, я говорю о тех утверждениях, которые нас самих удовлетворяют.
Но каким образом мы добились строгости? Путем ограничения в науке роли интуиции и усиления роли формальной логики. Прежде употреблялось множество понятий, рассматриваемых как основные, априорные и интуитивные. Таковыми были понятие целого числа, дроби, непрерывного роста, пространства, точки, линии, поверхности и т.д. На сегодняшний день лишь одно понятие осталось основным - понятие целого числа. Все другие понятия являются только комбинациями, и такой ценой достигается полная строгость.
Несколько раньше немецкий математик - Леопольд Кронеккер - выразил это афористично: Бог создал целые числа, всё остальное - дело рук человека.
На рубеже веков это стало правдой - математика действительно строилась из натуральных чисел. Именно об этом говорит Пуанкаре выше, называя это "полной строгостью". Но за счет чего она достигнута?
Математические понятия приобрели столь совершенную чистоту только за счет удаления от действительности. Можно пересечь всю страну математики и не встретить ни единого препятствия из рассекавших ее в былые времена. Но эти препятствия не исчезли, они лишь передвинулись к границам. И нам придется заново преодолевать их, если мы захотим пересечь границы, чтобы войти в практические области.
Помню, через несколько лет после университета прочел "Курс чистой математики" Харди. Это учебник матанализа, так что весь материал я знал. Было впечатление как от изумительно красивого хрустального здания, но абсолютно безжизненного. Это была действительно чистая математика - как будто физики и механики не существует.
В былые дни, когда изобретали новую функцию, следовали какой-нибудь практической цели. Сегодня их придумывают нарочно для того,
чтобы найти пробелы в рассуждениях наших отцов, и ни для чего больше.
Итак, если логика должна быть нашим единственным путеводителем в вопросах образования, то, очевидно, нужно начинать преподавание с самых вычурных функций. Начинающего нужно в первую голову ознакомить с этой кунсткамерой. Иначе он никогда не достигнет желанной строгости, а если и достигнет, то лишь мало-помалу.
Вот на что осудила бы нас абсолютная логика. Должны ли мы принести ей такую жертву? Таков вопрос, на который я, со своей стороны, не колеблясь, отвечаю - нет.
Как раз тогда во Франции начинал зарождаться бурбакизм (разумеется, Никола Бурбаки появился позже), который потом отольется в формальные методы преподавания математики в школах, см. известную критику В.И. Арнольда.
Преподавателю, без сомнения, трудно обучать рассуждению, которое не полностью его удовлетворяет. [...] Однако удовлетворение педагога не является единственной целью в процессе обучения, и необходимо, прежде всего, поставить перед собой вопрос о том, что представляет собой ум ученика и во что желательно его развить.
Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного за очень короткое время повторяет всю историю развития данного рода. По-видимому, умственное развитие также проходит подобные стадии. Задача учителя состоит в том, чтобы провести разум ребенка тем путем, которым проходил разум его отцов, ускоряя определенные этапы развития, но не пропуская ни одного из них. В этом отношении, история науки должна быть нашим проводником.
Последнее рассуждение вроде бы контрастирует с тем, что на подобную тему неоднократно говорил flying_bear:
История науки часто искажается из дидактических соображений. Есть некий способ представления результатов, который считается оптимальным для восприятия студентами. Так и строится изложение в учебниках. Как правило, это не имеет ничего общего с реальным историческим развитием, но историю науки специально изучают единицы, а науку как таковую - многие - отсюда мифы в общественном сознании. Гегель наизнанку: логическое (дидактическое) становится (псевдо)историческим. Это на самом деле вещь очень обычная. Скажем, когда я рассказываю студентам про фотоны, начинаю (после проб и ошибок оказалось, это самое понимаемое) не с фотоэффекта, а с позднейших (и в научном отношении не очень важных, т.е. не давших существенно новой информации) опытов С.Вавилова по наблюдению световых флуктуаций невооруженным глазом. Естественно, я при этом делаю оговорки, как было "на самом деле".
Ну да, не изучаем же мы химию через алхимию, да и теорию флоргистона в физике лишь упоминают, но даже не раскрывают ее содержания. Отличие математики от естественных наук? - С другой стороны, мы и в математике не начинаем с римских цифр, а что за геометрическая теория умножения была у древних греков, то это только в курсе истории математики будет.
Но не обязательно ходить в совсем уж седую древность. Один мой друг собирал курсы матанализа, изданные в XIX веке, и как-то показывал мне, что в старых курсах обязательно рассматривалась какая-то задача, а потом постепенно она из курсов исчезла. Зато из этой задачи развилась самостоятельная теория - теория особенностей, кажется. Ну и эйлеровы рассуждения из "Анализа бесконечно малых" корректно формализуются в появившемся во второй половине XX века нестандартном анализе.
Вот и получается что, само членение на этапы - уже результат некоторого теоретического осмысления, потому слова Пуанкаре могут быть верны только для действительно крупных базовых идей и понятий.
"Последние работы А. Пуанкаре"
М-Ижевск: РХД, 2001 г., 208 стр.
Анри Пуанкаре, помимо того, что был великим математиком, был еще и очень неслабым стилистом. Читать его книги - чистое интеллектуальное наслаждение. К сожалению, собственно математические статьи я читать не могу, изучал математику слишком давно и не те области, где работал Пуанкаре. Но он писал не только математические книги, а его работы о науке и естествознании, о философии математики адресованы не только математикам, и даже не столько им.
Этот небольшой сборник включает как собственно математические статьи, так и условно "гуманитарные". К последним относится, в частности статья "Идеи Герца в механике", в которой рассматриваются основания теоретической механики, обсуждаются понятия "массы", "силы", "энергии". Очень красивое определение кинетической и потенциальной энергии - жаль только, не общеприменимое.
Но здесь я хочу сосредоточиться на двух статьях сборника, для чтения которых математическое образование не нужно (хотя желательно, поможет даже курс высшей математики в техническом вузе).
Статья первая - "Будущее математики", отрывок из доклада на римском конгрессе математиков в 1908 году. Тут Пуанкаре говорит о предельно крупных областях математики - об Арифметике (теории чисел), Алгебре, Анализе, Геометрии, Теории множеств и Матлогике. Очень точные наблюдения за особенностями этих областей. Вот, к примеру, о теории чисел:
Чувство непрерывности - бесценный проводник, которого не хватает в арифметике. Каждое целое число отделено от других и, если можно так выразиться, имеет свою индивидуальную особенность. Каждое из них является своего рода исключением, вот почему в теории чисел очень редко появляются общие теоремы, вот почему даже существующие теоремы более скрыты и дольше ускользают от исследователей.
В какой-то мере это утверждение о том, что актуальная бесконечность "проще" потенциальной. Точек отрезка неперечислимо много, мы даже не можем все их поименовать конечным числом знаков. То есть, говоря об актуальной бесконечности точек отрезка, данных нам "все сразу, актуально", мы на самом деле их как бесконечную совокупность и не воспринимаем - мы воспринимаем их как что-то слипшееся, текучее, непрерывное. И в этом смысле более простое, чем потенциальная бесконечность натурального ряда. Потенциальную бесконечность, т.е. растущую конечную совокупность, мы воспринимаем как увеличивающуюся сложность. Небольшие числа нам знакомы "в лицо и на вкус", также у нас есть шаг "прибавить единицу, перейти к следующему" - все это позволяет нам прочувствовать потенциальную бесконечность как все возрастающую и становящуюся неподъемной тяжесть.
В одной из книг Мартина Гарднера есть остроумное доказательство того, что "среди натуральных чисел нет неинтересных". Оно, в кратце, таково:
1 интересное число, поскольку самое базовое, на него делится любое число и т.д.
2 интересное число, поскольку представляет собой минимальное выражение разнообразия;
...
Предположим, что неинтересные натуральные числа существуют. Рассмотрим множество всех неинтересных натуральных числе. Но у любого подмножества натурального ряда есть минимальный элемент. Рассмотрим это "минимальное неинтересное число" - разве это не представляет интерес, его такая особенность? Получается, что мы пришли к противоречию - это число, с одной стороны, "неинтересно", а с другой "интересно".
Вывод: неинтересных натуральных чисел не существует.
Конечно, это шутка, но в каждой шутке есть доля шутки. Осмысление того, почему это "доказательство" "неверно" (боже, каждое слово приходится брать в кавычки) позволит продумать и прочувствовать многое в устройстве натурального ряда и потенциальной бесконечности. Критиковать это "доказательство" можно по разным направлениям, и эти направления критики могут быть развиты в серьезные математические теории - точнее, хотя бы поверхностное знакомство с ними и генерирует эту критику.
А теперь перейдем к геометрии:
По-видимому, геометрия не может содержать ничего такого, чего не было бы уже в алгебре или в анализе: ведь геометрические факты - это те же факты алгебры или анализа, но только выраженные на другом языке. Казалось бы, поэтому, после того обзора, который мы сделали, не остается больше ничего сказать, специально относящегося к геометрии. Но думать так - значило бы проглядеть важность самого языка, когда он удачно создан, значило бы не понимать того, что прибавляет к вещам способ обозначения этих вещей и, следовательно, способ их группирования.
И прежде всего геометрические рассуждения приводят нас постановке новых проблем; конечно, это, если угодно, аналитические проблемы, но анализ никогда не привел бы к их постановке. Однако анализ извлекает для себя из этого выгоду, как и из того, что он вынужден решать проблемы для удовлетворения физики.
Большое преимущество геометрии состоит именно в том, что в ней чувства могут прийти на помощь рассудку и помогают отгадать нужный путь, так что многие предпочитают приводить проблемы анализа к их геометрической форме.
Тут Пуанкаре обращает внимание на различие двух вещей: формальное строгое доказательство устроено отнюдь не так, чтобы родиться самостоятельно; оно скорее формализует и проверяет догадку, которая возникает по своим, отнюдь не формальным и строгим, законам.
[Геометрия] дает нам прежде всего весьма удобный способ выражения, язык, который в очень немногих словах выражает то, что при обыкновенном аналитическом языке потребовало бы пространных фраз. Мало того: этот язык побуждает нас называть одним и тем же именем сходные между собой вещи и закрепляет аналогии, делая невозможным забвение их. Он дает нам возможность ориентироваться в этом пространстве, слишком громадном для нас, которого мы не можем обнять иначе, как вызывая перед собой постоянно образ видимого пространства, хотя последнее представляет собой лишь весьма несовершенное его изображение. И тут, как в предыдущих примерах, аналогия с тем, что просто, помогает нам понять то, что сложно.
Самое крутое - когда удачный язык позволяет открыть новую область математики:
Быть может, проблемы Analysis situs [т.е. топологии] не были бы даже поставлены, если бы пользовались только языком анализа; впрочем, нет, я ошибаюсь: они были бы, несомненно, поставлены, ибо их разрешение необходимо для множества вопросов анализа, но наверное изолированно, так что нельзя было бы вовсе усмотреть их общей связи.
Кстати, не надо думать, что только геометрия дает нам удобный интуитивный язык. В алгебре и арифметике это было проделано настолько давно, что мы и не замечаем, как удачный язык сделал когда-то сложные задачи очень легкими. Пример - арабские цифры. Попробуйте без них решить задачу: "Умножить MCDXCII на MDCCLXXVI". Когда-то люди придумывали специальные приемы для таких расчетов, большим уважением пользовались.
А стоит записать это привычными арабскими цифрами, так с этой задачкой справится любой аккуратный шестиклассник.
Вот что значит - удачные обозначения и стоящая за ними мощная идея позиционного счисления. Ну и сами знаки "+", "=" тоже здорово помогают своей компактностью.
Но перейдем ко второй статье - "Логика и интуиция в математической науке и преподавании". Как вы понимаете, это развитие рассмотренных выше идей, теперь уже с учетом преподавания, т.е. не просто "как устроена математика", но и "как инсталлировать математику в мозг учащегося". Отдельная проблема, да.
[Математика] уже достигла строгости, и наши рассуждения не покажутся смешными нашим потомкам. Разумеется, я говорю о тех утверждениях, которые нас самих удовлетворяют.
Но каким образом мы добились строгости? Путем ограничения в науке роли интуиции и усиления роли формальной логики. Прежде употреблялось множество понятий, рассматриваемых как основные, априорные и интуитивные. Таковыми были понятие целого числа, дроби, непрерывного роста, пространства, точки, линии, поверхности и т.д. На сегодняшний день лишь одно понятие осталось основным - понятие целого числа. Все другие понятия являются только комбинациями, и такой ценой достигается полная строгость.
Несколько раньше немецкий математик - Леопольд Кронеккер - выразил это афористично: Бог создал целые числа, всё остальное - дело рук человека.
На рубеже веков это стало правдой - математика действительно строилась из натуральных чисел. Именно об этом говорит Пуанкаре выше, называя это "полной строгостью". Но за счет чего она достигнута?
Математические понятия приобрели столь совершенную чистоту только за счет удаления от действительности. Можно пересечь всю страну математики и не встретить ни единого препятствия из рассекавших ее в былые времена. Но эти препятствия не исчезли, они лишь передвинулись к границам. И нам придется заново преодолевать их, если мы захотим пересечь границы, чтобы войти в практические области.
Помню, через несколько лет после университета прочел "Курс чистой математики" Харди. Это учебник матанализа, так что весь материал я знал. Было впечатление как от изумительно красивого хрустального здания, но абсолютно безжизненного. Это была действительно чистая математика - как будто физики и механики не существует.
В былые дни, когда изобретали новую функцию, следовали какой-нибудь практической цели. Сегодня их придумывают нарочно для того,
чтобы найти пробелы в рассуждениях наших отцов, и ни для чего больше.
Итак, если логика должна быть нашим единственным путеводителем в вопросах образования, то, очевидно, нужно начинать преподавание с самых вычурных функций. Начинающего нужно в первую голову ознакомить с этой кунсткамерой. Иначе он никогда не достигнет желанной строгости, а если и достигнет, то лишь мало-помалу.
Вот на что осудила бы нас абсолютная логика. Должны ли мы принести ей такую жертву? Таков вопрос, на который я, со своей стороны, не колеблясь, отвечаю - нет.
Как раз тогда во Франции начинал зарождаться бурбакизм (разумеется, Никола Бурбаки появился позже), который потом отольется в формальные методы преподавания математики в школах, см. известную критику В.И. Арнольда.
Преподавателю, без сомнения, трудно обучать рассуждению, которое не полностью его удовлетворяет. [...] Однако удовлетворение педагога не является единственной целью в процессе обучения, и необходимо, прежде всего, поставить перед собой вопрос о том, что представляет собой ум ученика и во что желательно его развить.
Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного за очень короткое время повторяет всю историю развития данного рода. По-видимому, умственное развитие также проходит подобные стадии. Задача учителя состоит в том, чтобы провести разум ребенка тем путем, которым проходил разум его отцов, ускоряя определенные этапы развития, но не пропуская ни одного из них. В этом отношении, история науки должна быть нашим проводником.
Последнее рассуждение вроде бы контрастирует с тем, что на подобную тему неоднократно говорил flying_bear:
История науки часто искажается из дидактических соображений. Есть некий способ представления результатов, который считается оптимальным для восприятия студентами. Так и строится изложение в учебниках. Как правило, это не имеет ничего общего с реальным историческим развитием, но историю науки специально изучают единицы, а науку как таковую - многие - отсюда мифы в общественном сознании. Гегель наизнанку: логическое (дидактическое) становится (псевдо)историческим. Это на самом деле вещь очень обычная. Скажем, когда я рассказываю студентам про фотоны, начинаю (после проб и ошибок оказалось, это самое понимаемое) не с фотоэффекта, а с позднейших (и в научном отношении не очень важных, т.е. не давших существенно новой информации) опытов С.Вавилова по наблюдению световых флуктуаций невооруженным глазом. Естественно, я при этом делаю оговорки, как было "на самом деле".
Ну да, не изучаем же мы химию через алхимию, да и теорию флоргистона в физике лишь упоминают, но даже не раскрывают ее содержания. Отличие математики от естественных наук? - С другой стороны, мы и в математике не начинаем с римских цифр, а что за геометрическая теория умножения была у древних греков, то это только в курсе истории математики будет.
Но не обязательно ходить в совсем уж седую древность. Один мой друг собирал курсы матанализа, изданные в XIX веке, и как-то показывал мне, что в старых курсах обязательно рассматривалась какая-то задача, а потом постепенно она из курсов исчезла. Зато из этой задачи развилась самостоятельная теория - теория особенностей, кажется. Ну и эйлеровы рассуждения из "Анализа бесконечно малых" корректно формализуются в появившемся во второй половине XX века нестандартном анализе.
Вот и получается что, само членение на этапы - уже результат некоторого теоретического осмысления, потому слова Пуанкаре могут быть верны только для действительно крупных базовых идей и понятий.