Алгебраично: факторгруппа R/Z изоморфна подгруппе комплексных чисел с радиусом 1

[theta_man]

Недавно попалась интересная, с моей точки зрения, теорема: если рассматривать вещественные числа как группу, то целые числа можно рассматривать как подгруппу вещественных чисел. Требуется доказать что
изоморфна
, где
это подгруппа комплексных чисел под умножением, включающая в себя комлексные числа с радиусом 1.
Идея доказательства в том чтобы определить такой гомоморфизм который был бы сюръективным и ядром которого была бы группа целых чисел. Определить такой гомоморфизм может изначально показаться не очень простой задачей, но всё меняется если вспомнить что любое комплексное число можно представить в виде
, где r это любое вещественное число и является радиусом комплексного числа, и k - любое вещественное число. Тогда легко определить гомоморфизм
следующим образом:
, который является сюръективным с ядром целых чисел. Таким образом,
согласно Первой теореме изоморфизмов.