Почему Россия лучше Украины, или что такое логит.
Существует довольно распространенное заблуждение, что ЕГЭ и ЗНО - это два названия одного и того же. Однако это не совсем так. Невооруженным глазом различие в уровне сложностей заданий третьего уровня, если в ЗНО они вообще "ни о чем", то некоторые из ЕГЭшных заданий таки представляют повод задуматься.
Интересно другое. Как наверное знают читатели этого журнала, ЗНО использует довольно двинутую на голову систему перевода первичных балов (равных количеству решенных заданий) в тестовые (от 100 до 200), форсирующую нормальное распределение со средним 150 и дисперсией 15. В ЕГЭ тоже есть перевод из первичных баллов в тестовые. Интересно, что в этом переводе нет двинутого форсирования нормального распределения, вместо которого используется довольно таки интересная математическая модель.
Итак, модель Раша. Чтобы проиллюстрировать эту модель, задумаемся о том, как же вообще можно оценивать силу решающего задачи. Что означает что один ученик в два раза сильнее чем другой? Естественным желанием было бы сказать что если один ученик в два раза сильнее, он должен решать задачу с вероятностью, в два раза большей. И пока задача достаточно сложна, у такого подхода не возникает никаких трудностей. Однако когда вероятность решить задачу приближается к 50% - такой подход теряет смысл. Следующее не менее естественное определение - сказать что ученик в два раза сильнее, если у него вероятность ошибиться в задаче в два раза меньше. Эти два подхода можно (диалектически!) объеденить в один - ученик в два раза сильнее, если вероятность решить задачу, деленная на вероятность ошибки для него в два раза больше чем для другого. Такой же подход можно применить и к сложности задач, что и приведет к однопараметрической модели Раша. Вероятность студента силы s решить задачу сложности t в этой системе задается формулой:
Теперь если у нас есть какое-то количество студентов неизвестной силы, и какое-то количество задач неизвестной трудности, и соответственно матрица, какие студенты решили какие задачи, мы можем, максимизируя итоговую условную вероятность произошедшего события, установить одновременно и трудности имеющихся задач, и, что более важно силу имеющихся студентов (с точностью до константы). Логитом называется логарифм этой силы. Тестовый бал ЕГЭ линейно связан с этим логитом, однако логику этой связи я не совсем понимаю. Интересно, что полученное в результате ЕГЭ распределение логитов таки напоминает нормальное, впрочем со слегка скошенным правым краем.
P.S http://en.wikipedia.org/wiki/Rasch_model
Интересно другое. Как наверное знают читатели этого журнала, ЗНО использует довольно двинутую на голову систему перевода первичных балов (равных количеству решенных заданий) в тестовые (от 100 до 200), форсирующую нормальное распределение со средним 150 и дисперсией 15. В ЕГЭ тоже есть перевод из первичных баллов в тестовые. Интересно, что в этом переводе нет двинутого форсирования нормального распределения, вместо которого используется довольно таки интересная математическая модель.
Итак, модель Раша. Чтобы проиллюстрировать эту модель, задумаемся о том, как же вообще можно оценивать силу решающего задачи. Что означает что один ученик в два раза сильнее чем другой? Естественным желанием было бы сказать что если один ученик в два раза сильнее, он должен решать задачу с вероятностью, в два раза большей. И пока задача достаточно сложна, у такого подхода не возникает никаких трудностей. Однако когда вероятность решить задачу приближается к 50% - такой подход теряет смысл. Следующее не менее естественное определение - сказать что ученик в два раза сильнее, если у него вероятность ошибиться в задаче в два раза меньше. Эти два подхода можно (диалектически!) объеденить в один - ученик в два раза сильнее, если вероятность решить задачу, деленная на вероятность ошибки для него в два раза больше чем для другого. Такой же подход можно применить и к сложности задач, что и приведет к однопараметрической модели Раша. Вероятность студента силы s решить задачу сложности t в этой системе задается формулой:
Теперь если у нас есть какое-то количество студентов неизвестной силы, и какое-то количество задач неизвестной трудности, и соответственно матрица, какие студенты решили какие задачи, мы можем, максимизируя итоговую условную вероятность произошедшего события, установить одновременно и трудности имеющихся задач, и, что более важно силу имеющихся студентов (с точностью до константы). Логитом называется логарифм этой силы. Тестовый бал ЕГЭ линейно связан с этим логитом, однако логику этой связи я не совсем понимаю. Интересно, что полученное в результате ЕГЭ распределение логитов таки напоминает нормальное, впрочем со слегка скошенным правым краем.
P.S http://en.wikipedia.org/wiki/Rasch_model