УСЛОВИЯ И ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КОНКУРСА
1. Конкурс проводится среди учеников средних школ Латвии 10, 11 и 12-х классов.
2. Первый тур конкурса проводится дистанционно и состоит из трех задач, отдельно для учащихся каждого класса, полные решения с ответами на которые необходимо выслать в электронном виде на адрес tatjana.zdanok@gmail.com, или в письменном виде по почте на адрес: Tatjana Ždanoka, Rūpniecības iela 9, Rīga, LV-1010, указав свой возраст, класс, школу, город проживания и контактный телефон, с пометкой "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНКУРС" в теме письма или на конверте.
3. Задачи конкурса опубликованы ниже. Решайте именно те задачи, которые предназначены для вашего класса. Если ученик 10-го класса решит задачи для 12-го, это не даст ему никаких дополнительных баллов при подведении результатов. Если ученик 12-го класса решит задачи 10-го или 11-го классов, то эти решения не будут идти ему в зачет при подведении результатов.
4. Решения задач первого тура должны быть отправлены не позднее 21 апреля 2013 года.
5. По результатам первого тура будут определены 30 участников второго тура, приславших наиболее полные и правильные ответы на все задачи.
6. Второй тур конкурса будет проводиться очно 4 мая 2013 года в Риге, и будет состоять из 10 задач. Точное время и место проведения второго тура будет сообщено его участникам отдельно и опубликовано здесь, в моем блоге.
По результатам второго тура будут определены двенадцать победителей конкурса - по четыре победителя от 10, 11 и 12-х классов.
Все победители будут премированы поездкой в Страсбург с посещением Европейского парламента, которая состоится с 29 июня по 7 июля 2013 года!
[ЗАДАЧИ ДЛЯ 10-х КЛАССОВ]ЗАДАЧИ ДЛЯ 10-х КЛАССОВ
1. Квадрат состоит из клеточек 4х4. Возможно ли, что в клеточки можно вписать числа от 1 до 16 (в каждой клеточке неповторяющиеся числа) таким образом, чтобы ни в одной из двух рядом находящихся клеточках сумма вписанных чисел не превышала 19. Или таким образом, чтобы ни одна из этих сумм не превышала 18? Докажите решением задания через инварианты.
2. Решите систему уравнений, если x,z,y≥0
3. У дракона 2000 голов. Богатырь, при одном ударе, может отрубить 33, 21, 17 и 1 голову, но у дракона сразу соответственно отрастёт 48, 0, 14 и 349 голов. Если будут срублены все головы, новые не отрастут. Победит ли богатырь дракона? Докажите решением задания через инварианты.
[ЗАДАЧИ ДЛЯ 11-х КЛАССОВ]ЗАДАЧИ ДЛЯ 11-х КЛАССОВ
1. Саша написал на песке числа: 9,11,13,15,17,19. При одном ходе можно стереть два числа, и в место этих двух чисел написать одно, которое можно получить из суммы стертых чисел уменьшеной на 1. После нескольких таких шагов на песке останется одно число. Будет ли это число 78? Докажите решение задания через инварианты.
2. Решите систему уравнений, если x,z,y≥0
3. В лесу растут 36 грибов. На рассвете первого дня один гриб упал, но на его месте выростало 4 новых гриба. То же самое происходило каждый день - один гриб падал, четыре вырастало заново. На какой день в лесу будет именно 15037 грибов? Докажите решение задания через инварианты.
[ЗАДАЧИ ДЛЯ 12-х КЛАССОВ]ЗАДАЧИ ДЛЯ 12-х КЛАССОВ
1. В таблицу 3х3 вписаны нули. В таблице можно выбрать квадрат 2х2, и все числа, которые вписаны в квадрат, увеличить на 1. Доказать, что при помощи инварианта после нескольких таких операций нельзя будет получить таблицу:
2. Найти наименьшее возможное значение выражения:
3. Было четыре листа бумаги. Каждый разрезали на четыре части. Из полученных новых листов несколько снова разрезали на четыре части и т.д.
При подсчете листов было ровно 2013. Доказать, при помощи инварианта, что при подсчете допустили ошибку.
2. Первый тур конкурса проводится дистанционно и состоит из трех задач, отдельно для учащихся каждого класса, полные решения с ответами на которые необходимо выслать в электронном виде на адрес tatjana.zdanok@gmail.com, или в письменном виде по почте на адрес: Tatjana Ždanoka, Rūpniecības iela 9, Rīga, LV-1010, указав свой возраст, класс, школу, город проживания и контактный телефон, с пометкой "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНКУРС" в теме письма или на конверте.
3. Задачи конкурса опубликованы ниже. Решайте именно те задачи, которые предназначены для вашего класса. Если ученик 10-го класса решит задачи для 12-го, это не даст ему никаких дополнительных баллов при подведении результатов. Если ученик 12-го класса решит задачи 10-го или 11-го классов, то эти решения не будут идти ему в зачет при подведении результатов.
4. Решения задач первого тура должны быть отправлены не позднее 21 апреля 2013 года.
5. По результатам первого тура будут определены 30 участников второго тура, приславших наиболее полные и правильные ответы на все задачи.
6. Второй тур конкурса будет проводиться очно 4 мая 2013 года в Риге, и будет состоять из 10 задач. Точное время и место проведения второго тура будет сообщено его участникам отдельно и опубликовано здесь, в моем блоге.
По результатам второго тура будут определены двенадцать победителей конкурса - по четыре победителя от 10, 11 и 12-х классов.
Все победители будут премированы поездкой в Страсбург с посещением Европейского парламента, которая состоится с 29 июня по 7 июля 2013 года!
[ЗАДАЧИ ДЛЯ 10-х КЛАССОВ]ЗАДАЧИ ДЛЯ 10-х КЛАССОВ
1. Квадрат состоит из клеточек 4х4. Возможно ли, что в клеточки можно вписать числа от 1 до 16 (в каждой клеточке неповторяющиеся числа) таким образом, чтобы ни в одной из двух рядом находящихся клеточках сумма вписанных чисел не превышала 19. Или таким образом, чтобы ни одна из этих сумм не превышала 18? Докажите решением задания через инварианты.
2. Решите систему уравнений, если x,z,y≥0
3. У дракона 2000 голов. Богатырь, при одном ударе, может отрубить 33, 21, 17 и 1 голову, но у дракона сразу соответственно отрастёт 48, 0, 14 и 349 голов. Если будут срублены все головы, новые не отрастут. Победит ли богатырь дракона? Докажите решением задания через инварианты.
[ЗАДАЧИ ДЛЯ 11-х КЛАССОВ]ЗАДАЧИ ДЛЯ 11-х КЛАССОВ
1. Саша написал на песке числа: 9,11,13,15,17,19. При одном ходе можно стереть два числа, и в место этих двух чисел написать одно, которое можно получить из суммы стертых чисел уменьшеной на 1. После нескольких таких шагов на песке останется одно число. Будет ли это число 78? Докажите решение задания через инварианты.
2. Решите систему уравнений, если x,z,y≥0
3. В лесу растут 36 грибов. На рассвете первого дня один гриб упал, но на его месте выростало 4 новых гриба. То же самое происходило каждый день - один гриб падал, четыре вырастало заново. На какой день в лесу будет именно 15037 грибов? Докажите решение задания через инварианты.
[ЗАДАЧИ ДЛЯ 12-х КЛАССОВ]ЗАДАЧИ ДЛЯ 12-х КЛАССОВ
1. В таблицу 3х3 вписаны нули. В таблице можно выбрать квадрат 2х2, и все числа, которые вписаны в квадрат, увеличить на 1. Доказать, что при помощи инварианта после нескольких таких операций нельзя будет получить таблицу:
2. Найти наименьшее возможное значение выражения:
3. Было четыре листа бумаги. Каждый разрезали на четыре части. Из полученных новых листов несколько снова разрезали на четыре части и т.д.
При подсчете листов было ровно 2013. Доказать, при помощи инварианта, что при подсчете допустили ошибку.