Проблемы с переходными нелинейными задачи. Часть 1: выбор системы уравнений
Мы будем рассматривать проблемы, возникающие при решении переходных (нестационарных) задач. В качестве примера возьмем задачу о высоковольтном кабеле, в котором между жилами находится материал с нелинейными проводящими свойствами. Этот материал устроен так, что пока он находится в слабом электрическом поле, его проводимость очень низкая, и он ведет себя как изолятор. Однако когда напряженность электрического поля превышает определенный порог (будем далее называть его «напряженностью включения», E0), проводимость начинает быстро расти, и материал будет вести себя уже как проводник. Таким образом, для данного материала характерна зависимость проводимости от напряженности поля, характерный вид которой показан на рис. 1. Для описания этой зависимости мы будем использовать формулу (1), которая хорошо описывает поведение некоторых таких материалов (хотя нужно понимать, что данная формула - всего лишь аппроксимация экспериментально измеренной зависимости, она не выведена из какой-либо физической теории):
(1)
Рис. 1. Зависимость проводимости материала изоляции от напряженности поля.
Мы будем рассматривать оконечность кабеля - наиболее проблемную его зону. Дело в том, что в «средней» части кабеля поле направлено радиально от внутренней жилы к внешней, и распределено по изоляции относительно равномерно («слабо неоднородно»). Однако на оконечности кабеля заземленную внешнюю жилу необходимо прервать, чтобы подключить внутреннюю - высоковольтную - жилу к следующему устройству. На оконечности заземленной жилы силовые линии электрического поля сгущаются, здесь возникает область с большой напряженностью поля. А это опасно - в первом приближении именно уровень напряженности определяет порог пробоя изоляции.
Материалы с нелинейными проводящими свойствами помогают в таких опасных местах. В месте концентрации сильного электрического поля «включается» проводимость, а в проводнике токи перераспределяют заряды так, чтобы снизить напряженность (рис. 2). Таким образом, подобный материал «сам» перераспределяет напряженность из области с сильным полем в область слабого поля («сглаживает» распределение поля).
Рис. 2. Материал с нелинейными проводящими свойствами «сглаживает» распределение электрического поля, ограничивая уровень напряженности.
Геометрия задачи представлена на рис. 3. Это осесимметричная постановка, внутренняя (высоковольтная) жила уходит в нижнюю часть модели - это «изображает» ее подключение к следующему устройству, а внешняя (заземленная) жила «оборвана». Нас интересует, каково будет распределение напряженности поля в таком объекте при приложении к внутренней жиле переменного высокого потенциала с частотой 50 Гц и амплитудой 5 кВ.
Рис. 3. Геометрия, граничные условия и свойства материалов.
- Какой системой уравнений описывается данная ситуация?
- div σ(E)E = 0 (2)
- Посмотрим: данная система является замкнутой. Т.е. в принципе, действительно, мы можем решать задачу в такой постановке. Какие ограничения могут возникнуть на такую постановку?
- Мы же хотим распределение поля найти. Зачем нам еще что-то - здесь мы приложим разность потенциалов, и получится распределение…
- Логика такого варианта понятна - нам нужно найти распределение электрического поля, мы вспоминаем уравнение (2), которое работает как раз с электрическим полем, и видим, что в нем как раз фигурирует проводимость материала, т.е. мы можем использовать. Однако дальше я покажу, что если рассуждать таким образом, мы допустим ошибку. Если мы при выборе системы уравнений следим только затем, чтобы там фигурировали нужные нам физические величины, мы сильно рискуем попасть в приближение, неприменимое к нашей ситуации.
Более продуктивный путь - идти от законов сохранения интересующих нас величин и следить за приближениями, которые мы делаем. Например, какой закон сохранения нужен нам в данном случае?
- Закон сохранения заряда.
- Да, ведь мы хотим исследовать перемещения электрических зарядов.
Поэтому для начала запишем:
(3)
Далее, мы считаем, что электрический ток определяется законом Ома:
j=σins(E)E
(4)
Это одно из приближений - не всегда формула (4) описывает электрический ток. Например, в некоторых ситуациях может возникать диффузионный ток или конвективный перенос течением вещества. В данном случае этими эффектами мы пренебрегаем.
Система (3-4) незамкнута: мы не знаем плотность заряда, напряженность поля, электрический ток а уравнения у нас два. Чтобы замкнуть систему, понадобятся уравнения Максвелла. Магнитных полей, как мы предполагаем, здесь не будет (еще одно приближение, которое мы также фиксируем). Поэтому мы возьмем оттуда только соотношение, связывающее электрическое поле с объемным зарядом:
div εε0E = ρ
(5)
В итоге получаем замкнутую систему:
(6)
Добавив граничные и начальные условия, ее можно решать.
В Comsol та же система записывается в более компактном виде (ее легко получить, продифференцировав (5) по времени и подставив в (3)):
(7)
Теперь можно увидеть, что из (7) можно получить (2). Это случай, когда σins(E)E гораздо больше ∂/∂t(εε0E). С другой стороны, возможен и случай, когда, напротив, первое слагаемое гораздо больше второго. Тогда остается одно уравнение Пуассона (5).
Но как же все-таки понять, можно ли применять более простую постановку (5) или необходимо использовать более сложную и более общую постановку (6)? Есть, конечно, банальный вариант действий - считать в более общей постановке, описывающей по возможности наиболее широкий диапазон ситуаций. Ясно, что на практике это неприемлемо - мы всегда стараемся подобрать наиболее простую из допустимых постановку, позволяющую считать быстрее и с меньшими затратами памяти. Поэтому необходимо, отталкиваясь от более общей постановки, сделать оценку для проверки возможности перейти к более простой постановке.
Рис. 4. Закон сохранения заряда плюс уравнения Максвелла в отсутствие магнитных полей дают уравнение (6). В зависимости от соотношения максвелловского времени релаксации (параметра, характеризующего свойства среды) и времени изменения электрического поля τ, оно может сводиться к более простым случаям - уравнению (5) или уравнению (2).
В данном случае нужно понять, можно ли выбросить из (7) слагаемое ∂/∂t(εε0E). Слагаемые ∂/∂t(εε0E) и σins(E)E имеют размерность плотности электрического тока, и их принято называть «током смещения» и «током проводимости» соответственно. Нам нужно оценить отношение этих слагаемых. Для этого оценим производную по времени от E как ∂E/∂t~E/τ (это, конечно, приближенная оценка по порядку величины), где τ - характерное время изменения электрического поля. В нашем случае, например, это период напряжения - 1/(50[Hz])=0.02 [s]. Получаем:
(8)
Отношение тока проводимости и тока смещения определяется параметром εε0/σ. Это т.н. время максвелловской релаксации τm. Если время максвелловской релаксации очень велико по сравнению с характерным временем изменения электрического поля (τm >> τ), можно использовать уравнение (5). Если время максвелловской релаксации мало по сравнению с характерным временем изменения электрического поля (τm >> τ), можно использовать уравнение (2) (рис. 4).
В общем случае необходимо использовать «более сложное» уравнение (6). Когда возникает такая необходимость? Например, когда проводимость в разных областях задачи сильно различается - тогда в одних областях работает приближение (1), а в других - приближение (4). Но нам необходимо для расчета описать их единой системой уравнений - приходится применять более общую систему уравнений (6). Это как раз касается нашей задачи - ведь проводимость определяется сложной кривой (1), и где-то проводимость будет очень низкой, а где-то, напротив, очень высокой. В Comsol систему (6) может решать модуль Electric Currents. Нужно отметить, что этот модуль еще и без дополнительных условий рассчитывает накопление заряда на границе доменов с разной проводимостью.
Из свойств среды необходимо задать проводимость и диэлектрическую проницаемость. Диэлектрическую проницаемость мы зададим постоянной, а проводимость - непосредственно по формуле (1).