Приятно начинать день в таком настроении.
Занимаясь мат.подготовкой абитуриентов, отец регулярно снабжает меня всякими стандартными ЕГЭшными и нестандартными олимпиадными задачами. При этом часто приводит цитату всеми любимого зам.декана факультета вмик Бориса Ивановича Березина, ведущего занятия по матану на младших курсах по его словам: "Для того, чтобы постоянно держать мозги в тонусе". А иначе они, мол, закиснут и скуксятся.
Я же питаю слабость к этим маленьким математическим препятствиям для мозгов, каждый раз получая от решения истинное удовольствие. Зачастую нравится мне просто возможность отвлечься от дел и, позабыв обо всём и отключив мозг, применяя стандартные техники решения и кропотливо выводя логические цепочки, продвигаться от слова "Дано" к слову "Ответ". Однако часто попадаются и "затыки" - задачи, для которых мой мозг совершенно не приспособлен. Тогда на решение могут уйти часы и, в случае удачного завершения, удовольствие уже получается из осознания того, что мои бедные мОзги ещё не совсем в закваске, ну или, что совсем уж редко получается, от математической красоты и спартанской лаконичности самого решения.
Так вот этим прекрасным воскресным утром судьба даровала мне глоток этого редкого удовольствия, когда записывая слово "Ответ" (а не записать его невозможно, т.к. в школе любовь к аккуратности в оформлении вдолбили вместе с кривой осанкой), ощущаешь себя так, как будто победил достойного соперника. Приходит детское чувство, что ты его "сделал", "дёрнул", "взгрел", "так ему", "вот вам всем" и т.д. :)
Задача №10 для 9 класса из Ломоносовской олимпиады 2011, которая не давала мне покоя со среды звучит просто:
Что больше:
1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + 1/2010 - 1/2011
или
1/1006 + 1/1007 + ... + 1/2011 ?
Мозги колбасило изрядно, я умудрился успеть задействовать Excel, Matcad и, сдавшись, даже Google. Уходил в жуткие дебри логических рассуждений, до которых рядовой 9-классник никогда не дойдёт хотябы просто потому, что ему будет страшно лень, пока наконец мой моск не родил, на мой взгляд, очень красивое и простое решение, которое, вполне возможно, тот же более-менее преуспевающий 9-классник нашел бы за 5 минут, но которое доставило мне истиное упоение.
Теперь со спокойной совестью и радостью на душе можно перейти к обычным запланированным на сегодня делам.
Ещё раз условие:
Что больше:
1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + 1/2010 - 1/2011
или
1/1006 + 1/1007 + ... + 1/2011 ?Решение:
Обозначим первое число за A, второе за Z.
Обозначим за C число 1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2009 - 1/2010
Очевидно C = 1 - A - 1/2011
Следовательно A + C = 1 - 1/2011 = 2010/2011
Очевидно, что A < C (т.к. каждая слогаемая разность 1/1-1/2, 1/3-1/4, 1/5-1/6.... из C больше соответствующей слогаемой разности 1/2-1/3, 1/4-1/5, 1/6-1/7... из A и слогаемых в A и в C одинаковое количество )
Следовательно A < (A+C)/2 = (2010/2011)/2 = 1005/2011
Имеем A < 1005/2011
В Z имеем сумму 2011 - 1006 + 1 = 1006 слогаемых
Следовательно Z > 1006 * {самое маленькое слогаемое, т.е. последнее} = 1006 * 1/2011 = 1006/2011
Имеем Z > 1006/2011
Следовательно A < Z
Ответ:
Второе число больше
P.S. Кстати, может быть кто может поделиться решением остальных задач 9-10 классов, а то решать больно некогда, в свою очередь готов "расщедриться" 11-ми ;)
Я же питаю слабость к этим маленьким математическим препятствиям для мозгов, каждый раз получая от решения истинное удовольствие. Зачастую нравится мне просто возможность отвлечься от дел и, позабыв обо всём и отключив мозг, применяя стандартные техники решения и кропотливо выводя логические цепочки, продвигаться от слова "Дано" к слову "Ответ". Однако часто попадаются и "затыки" - задачи, для которых мой мозг совершенно не приспособлен. Тогда на решение могут уйти часы и, в случае удачного завершения, удовольствие уже получается из осознания того, что мои бедные мОзги ещё не совсем в закваске, ну или, что совсем уж редко получается, от математической красоты и спартанской лаконичности самого решения.
Так вот этим прекрасным воскресным утром судьба даровала мне глоток этого редкого удовольствия, когда записывая слово "Ответ" (а не записать его невозможно, т.к. в школе любовь к аккуратности в оформлении вдолбили вместе с кривой осанкой), ощущаешь себя так, как будто победил достойного соперника. Приходит детское чувство, что ты его "сделал", "дёрнул", "взгрел", "так ему", "вот вам всем" и т.д. :)
Задача №10 для 9 класса из Ломоносовской олимпиады 2011, которая не давала мне покоя со среды звучит просто:
Что больше:
1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + 1/2010 - 1/2011
или
1/1006 + 1/1007 + ... + 1/2011 ?
Мозги колбасило изрядно, я умудрился успеть задействовать Excel, Matcad и, сдавшись, даже Google. Уходил в жуткие дебри логических рассуждений, до которых рядовой 9-классник никогда не дойдёт хотябы просто потому, что ему будет страшно лень, пока наконец мой моск не родил, на мой взгляд, очень красивое и простое решение, которое, вполне возможно, тот же более-менее преуспевающий 9-классник нашел бы за 5 минут, но которое доставило мне истиное упоение.
Теперь со спокойной совестью и радостью на душе можно перейти к обычным запланированным на сегодня делам.
Ещё раз условие:
Что больше:
1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + 1/2010 - 1/2011
или
1/1006 + 1/1007 + ... + 1/2011 ?Решение:
Обозначим первое число за A, второе за Z.
Обозначим за C число 1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2009 - 1/2010
Очевидно C = 1 - A - 1/2011
Следовательно A + C = 1 - 1/2011 = 2010/2011
Очевидно, что A < C (т.к. каждая слогаемая разность 1/1-1/2, 1/3-1/4, 1/5-1/6.... из C больше соответствующей слогаемой разности 1/2-1/3, 1/4-1/5, 1/6-1/7... из A и слогаемых в A и в C одинаковое количество )
Следовательно A < (A+C)/2 = (2010/2011)/2 = 1005/2011
Имеем A < 1005/2011
В Z имеем сумму 2011 - 1006 + 1 = 1006 слогаемых
Следовательно Z > 1006 * {самое маленькое слогаемое, т.е. последнее} = 1006 * 1/2011 = 1006/2011
Имеем Z > 1006/2011
Следовательно A < Z
Ответ:
Второе число больше
P.S. Кстати, может быть кто может поделиться решением остальных задач 9-10 классов, а то решать больно некогда, в свою очередь готов "расщедриться" 11-ми ;)