Недогроб номер 9
В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.
Задача номер 9. Даны пересекающиеся прямые l,m. Найдите все точки на плоскости сумма растояний которых до l и m равна данному числу d.
Ясно, что самый симметричный случай -- когда прямые перпендикулярны, так что начнем с него. В этом случае все сразу считается -- в верхнем квадранте расстояния до осей x,y равны координатам y,x, поэтому фигура описывается уравнением x+y=d. Конечно, это отрезок соединяющий точки (0,d), (d,0). В остальных квадрантах ситуация похожа (например поворотами первого квадранта), поэтому ответ -- квадрат с углами (d,0), (0,d), (-d,0), (0,-d).
Отсюда понятно, чего ждать в общем случае -- надо отметить точки A,C на l и B,D на m на расстоянии d до другой прямой и соединить их отрезками. Из симметрии, АC=BD и обе делятся пополам точкой пересечения прямых О, поэтому ABCD -- прямоугольник, который и должен быть ответом. Для доказательства надо показать, что сумма расстояний от точки P на АB до l и m равна d. Тогда из соображений гомотетии из О любая точка в угле АОВ не на АB будет иметь другую сумму расстояний, а с остальными углами разбираемся аналогично.
Пусть x, y будут равны расстояниям от P до l,m, т.е. высотам из P треугольников АОP и BOP. Тогда площадь S треугольника АОВ равна сумме площадей AOP и BOP равна x*AO/2 + y*BO/2. Т.к. АО=OB, получаем, что х+y=2S/AO не зависит от выбора P (и равна высотам АОВ из А и В, т.е. расстояниям от А и В до второй прямой).
На мой взгляд задача слишком простая (особенно, когда угол прямой) и должна считаться конвенциональной, а не гробом. Может, и чуток сложнее обычных задач, которые там спрашивали.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 10. Дан пространственный четырехугольник ABCD, который касается сферы каждой стороной. Докажите, что все четыре точки касания лежат в одной плоскости.
Задача номер 9. Даны пересекающиеся прямые l,m. Найдите все точки на плоскости сумма растояний которых до l и m равна данному числу d.
Ясно, что самый симметричный случай -- когда прямые перпендикулярны, так что начнем с него. В этом случае все сразу считается -- в верхнем квадранте расстояния до осей x,y равны координатам y,x, поэтому фигура описывается уравнением x+y=d. Конечно, это отрезок соединяющий точки (0,d), (d,0). В остальных квадрантах ситуация похожа (например поворотами первого квадранта), поэтому ответ -- квадрат с углами (d,0), (0,d), (-d,0), (0,-d).
Отсюда понятно, чего ждать в общем случае -- надо отметить точки A,C на l и B,D на m на расстоянии d до другой прямой и соединить их отрезками. Из симметрии, АC=BD и обе делятся пополам точкой пересечения прямых О, поэтому ABCD -- прямоугольник, который и должен быть ответом. Для доказательства надо показать, что сумма расстояний от точки P на АB до l и m равна d. Тогда из соображений гомотетии из О любая точка в угле АОВ не на АB будет иметь другую сумму расстояний, а с остальными углами разбираемся аналогично.
Пусть x, y будут равны расстояниям от P до l,m, т.е. высотам из P треугольников АОP и BOP. Тогда площадь S треугольника АОВ равна сумме площадей AOP и BOP равна x*AO/2 + y*BO/2. Т.к. АО=OB, получаем, что х+y=2S/AO не зависит от выбора P (и равна высотам АОВ из А и В, т.е. расстояниям от А и В до второй прямой).
На мой взгляд задача слишком простая (особенно, когда угол прямой) и должна считаться конвенциональной, а не гробом. Может, и чуток сложнее обычных задач, которые там спрашивали.
P.S. Домашнее задание. Задача номер 10. Дан пространственный четырехугольник ABCD, который касается сферы каждой стороной. Докажите, что все четыре точки касания лежат в одной плоскости.