Попугайная геометрия (10)
Четырёхугольник АВСD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке К, причём <АКВ=60о. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение:
Если угол АКВ равен 60о , то угол АКD = 120о, а значит α+ß=60о
Треугольник ABD вписан в окружность, значит по теореме синусов
AB/sinß=2R
25/sin(60о- α)=2R (*)
С тругольником ACD та же песня, и окружность тоже та же.
CD/sinα=2R
16/sinα=2R (**)
Приравниваем уравнения (*) и (**), упрощаем выражение и получаем:
(sin(60о- α))/sinα=25/16
(sin60оcosα-sinαcos60о)/sinα=25/16
Через прямоугольный треугольник найдём синус угла α:
Возвращаемся к уравнению (**):
2R=16/sinα
Решение:
Если угол АКВ равен 60о , то угол АКD = 120о, а значит α+ß=60о
Треугольник ABD вписан в окружность, значит по теореме синусов
AB/sinß=2R
25/sin(60о- α)=2R (*)
С тругольником ACD та же песня, и окружность тоже та же.
CD/sinα=2R
16/sinα=2R (**)
Приравниваем уравнения (*) и (**), упрощаем выражение и получаем:
(sin(60о- α))/sinα=25/16
(sin60оcosα-sinαcos60о)/sinα=25/16
Через прямоугольный треугольник найдём синус угла α:
Возвращаемся к уравнению (**):
2R=16/sinα