В магазине был куплен пакет глазури для куличей. Содержимое пакета предлагалось развести в трёх чайных ложках воды. Однако пакет был большим и сравнительно тяжёлым, и казалось, что трёх ложек будет маловато, поэтому было решено налить в чашку три ложки воды и всыпать содержимое пакета постепенно до получения нормальной густоты. После того, как в воде было растворено некоторое количество порошка из пакета, решили пробно полить этим составом кулич, и пришли к выводу, что такая смесь пока ещё недостаточно густа. После этого в чашку высыпали всё оставшееся содержимое пакета. Вопрос, стала ли полученная смесь более густой или менее густой, чем если бы сразу высыпали весь пакет в воду? [Варианты решений] 1. Переход к крайности. Допустим, мы высыпали в воду половину пакета и полученный раствор вылили практически целиком на кулич. Т.е. в чашке уже почти ничего не осталось. И поэтому ясно, что, если всыпать остаток порошка в чашку, то смесь получится очень густой. С крайним случаем всё понятно, но тут всё ещё остаётся вопрос, что было бы в середине. Что, если отлить из чашки на пробный кулич лишь малую часть смеси?
2. Логический вариант. Допустим, что мы засыпали половину пакета в воду, но не стали поливать этой смесью пробный кулич, а отчерпнули полученное во вторую чашку, а потом засыпали в первую остаток. Если теперь смешать содержимое двух чашек, то получится такой же густой состав, как было положено по инструкции. А из того, что в той чашке, куда отчерпнули смесь, состав оказался недостаточно густой, следует, что в другой чашке, куда всыпали весь остаток, смесь будет ещё более густой, чем полагалось.
3. Математический вариант. Примем три ложки воды за единицу (одну часть воды). "Густоту" будем считать равной концентрации порошка в воде (в частях целого). Вначале засыпали в одну часть воды некоторую часть пакета, обозначим эту часть буквой μ (0 ≤ μ < 1). Концентрация порошка в этой смеси получится равной μ. Из полученной смеси слили некоторую часть q (0 ≤ q < 1) на первый (пробный) кулич. Значит, в смеси осталось μ(1-q) частей порошка и (1-q) частей воды (концентрация, конечно, осталась равной μ). Затем в чашку добавили остаток порошка, т.е. (1-μ) частей. Таким образом, концентрация оказалась равна (μ(1-q)+(1-μ))/(1-q) = (1-μq)/(1-q). Если полученное значение больше единицы, то густота больше номинальной, если меньше единицы - меньше номинальной. Может быть, это не совсем очевидно, но довольно просто показать, что числитель у этой дроби всегда больше знаменателя, а значит, полученная смесь при любых μ и q в диапазоне [0, 1) всегда будет более густой, чем полагалось по инструкции.