Ум за разум (арифметика)
Понадобилось упростить выражение. cos4φ+sin4φ=? Если бы были квадраты, то понятно, что единица, а так - вроде что-то похожее, но не то. Ну, думаю, представлю четвёртые степени, как квадраты квадратов, а там видно будет.
cos4φ=(cos²φ)²=(1-sin²φ)²=1-2sin²φ+sin4φ
Может быть, пока проще не стало, но посмотрим, что будет дальше. То же самое проделаем с синусом.
sin4φ=(sin²φ)²=(1-cos²φ)²=1-2cos²φ+cos4φ
А теперь сложим одно с другим.
cos4φ+sin4φ=1-2sin²φ+sin4φ+1-2cos²φ+cos4φ=2-2(sin²φ+cos²φ)+sin4φ+cos4φ=sin4φ+cos4φ
Всё лишнее сократилось, что было, к тому и пришёл. Пробовал и другой способ - (1-cos²φ) раскладывать на множители по формуле разности квадратов. Результат получился в точности такой же. И мог бы так и не дойти до правильного ответа, но был настойчив. Путь, которым я шёл, довольно странный, и сразу такое в голову и не придёт. Начнём с того, что возведём единицу в квадрат.
1²=(sin²φ+cos²φ)²=sin4φ+2sin²φ∙cos²φ+cos4φ
А теперь отсюда выразим нужную нам сумму.
sin4φ+cos4φ=1-2sin²φ∙cos²φ=1-½(2sinφ∙cosφ)²=1-½sin²2φ=½+½(1-sin²2φ)=½(1+cos²2φ)
cos4φ=(cos²φ)²=(1-sin²φ)²=1-2sin²φ+sin4φ
Может быть, пока проще не стало, но посмотрим, что будет дальше. То же самое проделаем с синусом.
sin4φ=(sin²φ)²=(1-cos²φ)²=1-2cos²φ+cos4φ
А теперь сложим одно с другим.
cos4φ+sin4φ=1-2sin²φ+sin4φ+1-2cos²φ+cos4φ=2-2(sin²φ+cos²φ)+sin4φ+cos4φ=sin4φ+cos4φ
Всё лишнее сократилось, что было, к тому и пришёл. Пробовал и другой способ - (1-cos²φ) раскладывать на множители по формуле разности квадратов. Результат получился в точности такой же. И мог бы так и не дойти до правильного ответа, но был настойчив. Путь, которым я шёл, довольно странный, и сразу такое в голову и не придёт. Начнём с того, что возведём единицу в квадрат.
1²=(sin²φ+cos²φ)²=sin4φ+2sin²φ∙cos²φ+cos4φ
А теперь отсюда выразим нужную нам сумму.
sin4φ+cos4φ=1-2sin²φ∙cos²φ=1-½(2sinφ∙cosφ)²=1-½sin²2φ=½+½(1-sin²2φ)=½(1+cos²2φ)