Старая школа - сайт с избранными учебниками по математике и русскому языку
Искал задания по математике и наткнулся на весьма полезный сайт .
Оговорюсь сразу: на нём также присутствует и русский язык как школьная дисциплина.
Похоже, что сайт с учебниками создан русскими людьми, проживающими в Латвии.
Вот рубрики сайта:
- Арифметика
- Алгебра
- Геометрия
- Тригонометрия
- Русский язык.
Название сайта - „Старая школа”.
В качестве иллюстрации, поместил ниже короткую главку из „Пособия для учителей” авторов Худобиных и Шуршалова, Москва, „Просвещение”, 1973 г.
„Краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций” - весьма полезно освежить в памяти. Ведь такие графики иллюстрируют практически все процессы как в природе, так и в обществе!
§ 210. Краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций
В этом параграфе мы дадим краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций. При этом мы будем придерживаться следующего плана:
1) область определения функции;
2) область изменения функции;
3) четность функции;
4) периодичность функции;
5) интервалы знакопостоянства;
6) нули функции, то есть те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль;
7) монотонность функции;
8) локальные экстремумы функции;
9) поведение функции вблизи «особых» точек (например, функции у = 1/x вблизи точки х = 0).
Впрочем, порядок этот не является обязательным и в некоторых случаях для пользы дела может быть смело изменен. Отметим лишь, что осуществление каждого пункта плана всегда полезно сопровождать геометрической интерпретацией на графике исследуемой функции.
1. Квадратная функция у = ax2 + bx + c (а =/= 0)
Эта функция определена для всех значений х, так что областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел. Графиком квадратной функции служит парабола, вершина которой имеет координаты (
) При а > 0 парабола направлена вверх (рис. 287), а при а < 0 - вниз (рис. 288).
Если а > 0, то областью изменения данной функции является совокупность всех чисел, больших или равных
; если же а < 0, то областью изменения ее служит множество всех чисел, меньших или равных
.
При b =/= 0 функция у = ax2 + bx + c не будет ни четной, ни нечетной, поскольку ни одно из равенств
ax2 - bx + c = ax2 + bx + c,
[f(- х) = f (x)]
и
ax2 - bx + c = = - (ax2 + bx + c),
[f(- х) = - f (x)]
не выполняется тождественно.
При b = 0 квадратная функция принимает вид у = ax2 + c и потому является четной функцией.
Данная функция непериодична. Если дискриминант
d = b2 - 4ас
отрицателен, то функция не имеет нулей. В этом случае все ее значения имеют один и тот же знак - знак коэффициента а (см. рис. 289 для а > 0 и рис. 290 для а < 0).
Если дискриминант d положителен, то функция имеет два нуля:
Если к тому же а > 0, то функция положительна при х < x1 и х > x2, а отрицательна при x1 < х < x2 (см. рис. 287).
В случае, когда d > 0, а а < 0, функция положительна при x1 < х < x2, а отрицательна при х < x1 и х > x2 (см. рис. 288).
Наконец, возможен и случай, когда d = 0. Тогда квадратная функция имеет единственный нуль
x =
При всех значениях х =/=
она сохраняет один и тот же знак - знак коэффициента а.
В случае, когда а > 0, квадратная функция у = ax2 + bx + c
монотонно убывает при х <
и монотонно возрастает при х >
(см. рис. 287 и рис. 289).
В случае, когда а <. 0, она, наоборот, монотонно возрастает при х <
и монотонно убывает при х >
(см. рис. 288 и рис. 290).
Данная функция имеет единственный локальный экстремум
y экстр =
Этот экстремум достигается при х =
и является минимумом при а > 0 (рис. 287 и рис. 289) и максимумом при а < 0 (рис. 288 и рис. 290).
2. Степенная функция у = хr.
Область определения такой функции зависит от r.
Например, при r = 1 (у = х) это будет совокупность всех действительных чисел, при r = 1/2 ( у = √x) - совокупность неотрицательных чисел, при r = 0 ( у = х0 ) - совокупность всех чисел, кроме 0. Для положительных значений х функция у = хr определена всегда, независимо от того, чему равно r.
Область изменения функции у = хr также зависит от r. Например, функция у = х (r = 1) может принимать все действительные значения, функция у = x2 (r = 2) - только неотрицательные значения, а функция у = х0 (r = 0) - лишь одно значение, равное 1.
Среди степенных функций есть четные и нечетные. Например, функции у = x2, у = x4 - четные, а функции у = x3, у = x-3 - нечетные. Некоторые степенные функции (например, у = √x) определены лишь для неотрицательных значений аргумента. Для них ставить вопрос о четности не имеет смысла.
Степенная функция у = хr непериодична.
При х > 0 степенная функция у = хr независимо от r положительна.
Некоторые степенные функции (например, у = 1/x, у = х-3/2 не имеют нулей, для других же нулем является число 0 (например, для функций у = √x , у = x3) и т. д.;
Если число r положительно, то при х > 0 степенная функция у = хr монотонно возрастает (рис. 291). Если же r отрицательно, то при х > 0 степенная функция у = хr монотонно убывает (рис. 292).
Некоторые степенные функции, например у = x2, у = x4, имеют локальный минимум в точке х = 0.
Отметим еще поведение функций у = 1/x и у =
вблизи точки х = 0.
Когда х стремится к нулю, оставаясь положительным, функция у = 1/x неограниченно возрастает. Когда же х стремится к нулю, оставаясь отрицательным, она неограниченно убывает (рис. 293).
Функция у =
при приближении х к нулю (как слева, так и справа) неограниченно возрастает (рис. 294).
3. Тригонометрические функции
Из тригонометрических функций мы рассмотрим лишь две функции: у = sin х и у = tg x.
Областью определения функции у = sin х является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения - совокупность всех чисел, заключенных в интервале [- 1,1].
Функция является нечетной и периодической с периодом 2π .
В интервалах 2πп < x < π + 2πп эта функция положительна,
а в интервалах π + 2πп < x < 2π + 2πп отрицательна (рис. 295).
При х = πп она обращается в нуль.
В интервалах - π/2 + 2πп < х < π/2 + 2πп функция монотонно возрастает, а в интервалах π/2 + 2πп < х < 3/2 π + 2πп монотонно убывает.
Точки х = π/2 + 2πп являются точками локального максимума функции у = sin х . В них она принимает наибольшие значения, равные 1. Точки х = - π/2 + 2πп являются точками локального минимума. В них функция принимает наименьшие значения, равные - 1.
Функция у = tg x определена при всех значениях х, кроме х = π/2 + πп. Областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел.
Эта функция нечетна и периодична с периодом π (рис. 296).
В интервалах πп < х < π/2 + πп она положительна, а в интервалах - π/2 + πп < х < πп отрицательна. При х = πп функция обращается в нуль. В каждом интервале, не содержащем точек х = π/2 + πп, эта функция монотонно возрастает. Локальных экстремумов функция не имеет. Когда значения х неограниченно приближаются к π/2 + πп, оставаясь меньше π/2 + πп, значения функции у = tg x неограниченно возрастают. Когда же значения х неограниченно приближаются к π/2 + πп, оставаясь больше этих значений, функция у = tg x неограниченно убывает.
4. Показательная функция у = ах (а >0, а =/= 1)
Областью определения этой функции является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения - совокупность всех положительных чисел. Функция не является ни четной, ни нечетной. Не является она и периодической. При всех значениях аргумента х эта функция положительна. При а > 1 показательная функция у = ах является монотонно возрастающей (рис. 297), а при а < 1 - монотонно убывающей (рис. 298). Точек локальных экстремумов функция не имеет.
5. Логарифмическая функция у = loga x (а >0, а =/= 1)
Областью определения этой функции является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения - совокупность всех действительных чисел. О четности или нечетности этой функции говорить не имеет смысла. Функция не является периодической. Если а >1, то при х > 1 функция положительна, а при х < 1 отрицательна (рис. 299).
Если же а < 1 то, наоборот, при х > 1 функция отрицательна, а при х < 1 положительна (рис. 300). Единственным нулем логарифмической функции является точка х = 1. При а > 1 эта функция является монотонно возрастающей (рис. 299), а при а < 1 - монотонно убывающей (рис. 300). Локальных экстремумов функция не имеет. Если а >1, то при приближении х к нулю функция неограниченно убывает; если же а < 1, то при приближении х к нулю функция неограниченно возрастает.
Упражнения
По плану, описанному в данном параграфе, исследовать функции (№ 1643-1652):
1643. у = sin2 х.
1644. у = sin 2x.
1645. у = - |cos x].
1646. у = sin ( x - π/4 )
1647. у = tg ( x + π/4 ).
1648. у = x2 - 4x +5.
1649. у = x2 + x - 7.
1650. у = 1 + x - 2x2
1651. у = х √x .
1652. у =
Если кто-то испытывает ностальгию по творчеству в ранней молодости, то, пожалуйста: вот несложная задачка из одного учебника с вышеупомянутого сайта. Как говорится, бог в помощь!
0464. От двух кусков сплава одинакового веса, но с различным процентным содержанием меди, отрезали по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный кусок меньше целого куска?
***
НАВЕРХ.