В часы математического досуга

[spamsink]

...или из серии "один дурак может задать столько вопросов, что сто умных не ответят".

Рассмотрим последовательность, начинающуюся, для удобства изложения, сразу со второго элемента:

а2 = 1

Далее, аn = аn-1 + 1 / (n - аn-1)

Для примера, а3 = 1 + 1 / (3 - 1) = 3/2; а4 = 3/2 + 1/(4-3/2) = 19/10, ...

Эта последовательность, очевидно, растёт чуть быстрее,

Comments

[izba_digest]

Неужто не на константу? Казалось бы, остаток можно записать как a_n / (n + 1)^2, а интеграл от log(n) / n^2 сходится на больших n. Или вам зачем-то хочется явное выражение для константы?

[spamsink]

Численно выглядит как константа 1.3598112.... Интересно же, как она выражается через известные. А если не выражается, то будет константа Спамсинка.

[izba_digest]

Если она вообще выражается черезо что-то, то ... я бы поставил на постоянную Эйлера-Маскерони: разница между log(n) и суммой гармонического ряда.

[spamsink]

Логично, что эта постоянная должна там где-то фигурировать.

Мне помнится, что я где-то когда-то я видел веб-страницу, в которую можно было ввести число с хорошим количеством знаков после запятой, и сервер подбирал, на какое не очень сложное выражение, включающее небольшие целые числа и известные константы, оно похоже. Например, если ввести 1.84887453, оно должно было бы сказать π/e + ln(2)

Но не найду.

[alexanderr]

ну вы и шутник, батенька
неужели правда не узнаете??

Spamsink constant = e/2 =1.3591409142295226176801437356763312489

первые 4 цифры у вас правильные, а потом конечно ошибка
ну, сходимость не очень быстрая, и специально вы ее наверное не ускоряли

[spamsink]

Ну вы и шутник, батенька. Неужели вы думаете, что при подобных вычислениях с 64-битными числами с плавающей точкой образуется всего три верных цифры после запятой?

[alexanderr]

это зависит не только от формата чисел в промежуточных вычислениях. где, вы правы, ошибка может возникнуть и накопиться, но и от скорости сходимости к этой константе, и от деталей. например, она может сходиться не монотонно, а осциллировать с медленно уменьшающейся амплитудой

короче, чему равна ваша оценка ошибки в том числе, которые вы привели? почему вы так уверены, что оно вычислено точнее, чем 3 знака после запятой (что на самом деле неплохая точность, учитывая все трудности)

[spamsink]

Я так уверен, потому что при аналогичном вычислении суммы обычного гармонического ряда разность между получаемой суммой и логарифмом N сходится к постоянной Эйлера-Маскерони с точностью 8 знаков после запятой.

[alexanderr]

и эту последовательность, и гармонический ряд на самом деле хорошо бы не переводить в десятичный формат, а вычислять как целочисленные дроби. ну, чтобы ошибка не накапливалась

[alexanderr]

могу показать а(20) как целочисленную дробь (это будет длинный комментарий)

а вот а(30) уже затруднюсь

короче, надо не спорить со мной,
а быстро доказать, что это е/2 ;-))

[alexanderr]

а вот интересно, почему так быстро растет сложность этой вашей дроби? вам это очевидно? мне нет. особенно если сравнить с дробями частичных сумм гармонического ряда

а(3) = 3/2
а(4) = 19/10
а(5) = 689/310
а(6) = 902919/363010
а(7) = 1610893922869/594665194510
a(8) = 5422187846648306990942459/1871071000515058250871610
a(9) = 65408471597507349805723190837012905483968615226329/21362861761506953021644584296874581450310229239910

[spamsink]

Если a(n-1) = a/b, запишите, как будет выглядеть a(n) для частичных сумм гармонического ряда, и для моего ряда.

[spamsink]

Собственно, https://oeis.org/A079278
Формула чуть другая, поэтому знаменатели те же, но числители другие.