Внезапно озадачило
Совсем недавно я доказывал единственность ΓS семейства, а буквально вчера озадачился простейшим вопросом. Дело в том, что псевдовыпуклое множество по факту можно гомеоморфно отобразить на множество, заведомо не являющееся псевдовыпуклым. Например отрезок евклидовой плоскости можно отобразить в дугу. В то же время свойство псевдовыпуклости я некогда признавал топологическим, т.е. инвариантным относительно гомеоморфизмов. И как же всё это совместить?
Единственная зацепка заключается в том, что нет уверенности, что гомеоморфизм отрезка в дугу может быть продолжен до автоморфизма всего пространства. Применительно к случаю евклидовой плоскости (или вообще n-мерного евклидового пространства) вопрос будет звучать так - существуют ли автоморфизмы этого пространства, не являющиеся аффинными преобразованиями?
В общем случае глобальное неравенство нулю якобиана некоторого (гладкого) преобразования и, как следствие, его (преобразования) диффеоморфизм вполне себе возможны. А почему нет? Хотя глобально никто никогда не оценивает якобиан, ибо как все рассуждения ведутся лишь о некоторой окрестности, но нет причин утверждать, что это невозможно.
Блин!
Надо либо доказывать, что автоморфизм Т-пространства эквивалентен преобразованию ΓS семейства в себя, либо доказывать, что псевдовыпуклые множества не являются топологическим инвариантом (а сфигали?), либо искать ошибку в своих предыдущих утверждениях по поводу единственности (ох, не зря меня беспокоила внезапная лёгкость того доказательства!).
Единственная зацепка заключается в том, что нет уверенности, что гомеоморфизм отрезка в дугу может быть продолжен до автоморфизма всего пространства. Применительно к случаю евклидовой плоскости (или вообще n-мерного евклидового пространства) вопрос будет звучать так - существуют ли автоморфизмы этого пространства, не являющиеся аффинными преобразованиями?
В общем случае глобальное неравенство нулю якобиана некоторого (гладкого) преобразования и, как следствие, его (преобразования) диффеоморфизм вполне себе возможны. А почему нет? Хотя глобально никто никогда не оценивает якобиан, ибо как все рассуждения ведутся лишь о некоторой окрестности, но нет причин утверждать, что это невозможно.
Блин!
Надо либо доказывать, что автоморфизм Т-пространства эквивалентен преобразованию ΓS семейства в себя, либо доказывать, что псевдовыпуклые множества не являются топологическим инвариантом (а сфигали?), либо искать ошибку в своих предыдущих утверждениях по поводу единственности (ох, не зря меня беспокоила внезапная лёгкость того доказательства!).