Теорема о компактности
Теорема: Геодезический отрезок в локально связном наследственно нормальном пространстве, обладающим V-свойством, компактен.
Доказательство: Пусть Г(a,b) геодезический отрезок. Рассмотрим некоторое открытое покрытие Os, s∈S этого отрезка. Мы можем в качестве покрытия рассматривать семейство элементов Gs=Г(a,b)∩Os. В этом случае Г(a,b)=∪Gs. Поскольку пространство локально связно мы можем заменить это подпокрытием, составленным из элементов базы, состоящей из открытых областей, образующих элементы данного покрытия. Согласно известной теореме (Куратовский т.2 §46 п.II теорема 8) точки a и b можно соединить конечной цепью из элементов данного подпокрытия. Объединение элементов этой цепи G является открытым связным (это легко доказывается по индукции из Следствия 3 (i) Куратовский т.2 §46 п.II) множеством, содержащим точки a и b. Согласно предыдущей лемме существует замкнутое связное множество F⊂G⊂∪Gs=Г(a,b), соединяющее точки a и b, для которого G является покрытием. Но поскольку пространство обладает свойством V, то F=Г(a,b), а значит Г(a,b)⊂G. Сопоставляя каждому элементу цепи один содержащий его элемент исходного покрытия получаем конечное покрытие геодезического отрезка.
Доказательство: Пусть Г(a,b) геодезический отрезок. Рассмотрим некоторое открытое покрытие Os, s∈S этого отрезка. Мы можем в качестве покрытия рассматривать семейство элементов Gs=Г(a,b)∩Os. В этом случае Г(a,b)=∪Gs. Поскольку пространство локально связно мы можем заменить это подпокрытием, составленным из элементов базы, состоящей из открытых областей, образующих элементы данного покрытия. Согласно известной теореме (Куратовский т.2 §46 п.II теорема 8) точки a и b можно соединить конечной цепью из элементов данного подпокрытия. Объединение элементов этой цепи G является открытым связным (это легко доказывается по индукции из Следствия 3 (i) Куратовский т.2 §46 п.II) множеством, содержащим точки a и b. Согласно предыдущей лемме существует замкнутое связное множество F⊂G⊂∪Gs=Г(a,b), соединяющее точки a и b, для которого G является покрытием. Но поскольку пространство обладает свойством V, то F=Г(a,b), а значит Г(a,b)⊂G. Сопоставляя каждому элементу цепи один содержащий его элемент исходного покрытия получаем конечное покрытие геодезического отрезка.