Континуум-гипотеза и теория операторов

[sowa]

Comments

[kdv2005]

Спасибо, очень интересно. Я не знал, что результаты про алгебру Калкина получены совсем недавно. У меня было впечатление, сложившееся в результате рассказов Хелемского много лет назад, что в теории C*-алгебр есть целая серия утверждений об объектах, имеющих свойства которых разнятся в зависимости от того, справедлива континуум-гипотеза или нет. Правда это, скорее, заставляет скептически относиться к возможности выяснить правду о континуум-гипотезе, изучая C*-алгебры.

[sowa]

Вроде дело обстоит неменого не так: специалисты по C*-алгебрам часто использовали континуум-гипотезу; задача, решенная с использованием континуум-гипотезы, считалась решенной. Другой половиной не занимались.

Кроме того, здесь уж очень простая и естественная формулировка.

[kdv2005]

Да, привлекательные результаты. Еще бы внешний автоморфизм построить...

[sowa]

"Еще бы внешний автоморфизм построить..."

Так они в каком-то смысле построены...

[kdv2005]

Я имел в виду независимо построить, чтобы КГ установить. Я правда в последнее время колеблюсь, не знаю, что было бы интереснее, чтобы КГ оказалась верна или нет.

[sowa]

Интересней, наверное, если бы была неверна.

[kdv2005]

Да, пожалуй. И интрига сразу какая будет -- каков он, континуум на самом деле. Правда не исключено, что в таком случае все равно его место на шкале ординалов указать не удастся, так и останется где-то там, в неописуемой бесконечности. А впрочем, кто знает...

[sowa]

Мне кажется, что эти результаты - довод против континуум-гипотезы. У алгебры Калкина «не должно быть» неочевидных автоморфизмов.

[kdv2005]

Складывается впечатление, что серьезных доводов против КГ больше. На самом деле, я не знаю серьезных доводов в ее пользу, но это скорее всего по невежеству. Хотя не раз читал, что "те, кто понимает", склоняются к тому, что она неверна.

[sowa]

Я думаю, не по невежеству, а потому, что их нет. Континуум-гипотеза - это довольно наивное предположение: не видно сразу множеств промежуточной мощности, наверное, их и нет. Впрочем, такие утверждения часто оказываются верными (теорема Ферма, гипотеза Пуанкаре), но если их не доказывают сразу, за сто с гаком лет они обычно обрастают доводами в свою пользу.

[polytheme]

да, неизмеримых множеств тоже, по идее, быть не должно :)

[sowa]

Как я уже написал в моем ответе на ваш первый комментарий, нет никаких оснований думать, что всем множествам можно приписать объем разумным способом. Интуиция объема основывается на очень простых множествах.

[polytheme]

насколько я понял, равносильности нет. есть выведение из КГ.
точно так же из существования неизмеримых множеств не следует
аксиома выбора - она "слишком общая" :)

[kdv2005]

Вы правы, кажется равносильности в этом случае действительно нет.